Questão 3 - A distribuição de velocidades em um escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
uu max =1-(2 yh)^2
onde h á a altura entre as placas e a origem é colocada na linha mediana entre as placas. O fluido é do tipo dilatante com n=2.
(a) Obtenha uma expressão para a tensão de cisalhamento em função de k, y, h e u max .
(b) Qual a unidade da constante k no sistema internacional e no sistema inglês?
© C’aĩcul̃e a tensảo đe cisal̆hante mâxìma.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas (separadas por uma distância h), e o perfil de velocidade é
uumax ;=; 1 - l(2yhr)^2
O fluido é do tipo dilatante (ou power‐law) com índice tauyx ;=; k;gl|dudygr|^n .
O que a gente precisa:
  • (a) uma expressão para a tensão de cisalhamento em função de , , e .
  • (b) descobrir a unidade da constante no SI e no sistema inglês.
  • © achar a tensão de cisalhamento máxima.
    Para isso vamos usar a lei de potência do fluido:
e calcular a partir do perfil dado.

Passo 2

Primeiro, deriva o perfil de velocidade:
u(y) ;=; umax,l[1 - (2y/h)^2r] Longrightarrow dudy = umax,ddyl[-(2y/h)^2r] = -umax,8yh^2
Como tauyx(y) = k;l|,-umax,8yh^2r|^2 = k,l(8,umax,|y|h^2r)^2 = 64,k,umax^2,y^2h^4 , a lei de potência vira

Passo 3

Agora a unidade de [k] ;=; [tau][dotgamma]^n =Pa(s^-1)^2 =Pa,s^2 .
Sabemos que [k] = lbf/in^2(s^-1)^2 = lbf,s^2/in^2 e .
Da relação vem
No SI: tem unidade de .
No sistema inglês (lbf, in, s):

Passo 4

Para achar a tensão máxima, note que taumax = 64,k,umax^2,(h/2)^2h^4 = 64,k,umax^2,h^2/4h^4 = 16,k,umax^2h^2 cresce com , então o pico fica em .
Substituindo em
, temos

Resposta

(a)
(b) No SI: em .
No inglês: em
©

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