Questão 3 - A distribuição de velocidades em um escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
onde h á a altura entre as placas e a origem é colocada na linha mediana entre as placas. O fluido é do tipo dilatante com
.
(a) Obtenha uma expressão para a tensão de cisalhamento em função de
e
.
(b) Qual a unidade da constante
no sistema internacional e no sistema inglês?
© C’aĩcul̃e a tensảo đe cisal̆hante mâxìma.
(a) Obtenha uma expressão para a tensão de cisalhamento em função de
(b) Qual a unidade da constante
© C’aĩcul̃e a tensảo đe cisal̆hante mâxìma.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas (separadas por uma distância h), e o perfil de velocidade é
O fluido é do tipo dilatante (ou power‐law) com índice
.
O que a gente precisa:
O que a gente precisa:
- (a) uma expressão para a tensão de cisalhamento
em função de , , e . - (b) descobrir a unidade da constante
no SI e no sistema inglês. - © achar a tensão de cisalhamento máxima.
Para isso vamos usar a lei de potência do fluido:
e calcular
a partir do perfil dado.
Passo 2
Primeiro, deriva o perfil de velocidade:
Como
tauyx(y) = k;l|,-umax,8yh^2r|^2 = k,l(8,umax,|y|h^2r)^2 = 64,k,umax^2,y^2h^4 , a lei de potência vira
Passo 3
Agora a unidade de
[k] ;=; [tau][dotgamma]^n =Pa(s^-1)^2 =Pa,s^2 .
Sabemos que [k] = lbf/in^2(s^-1)^2 = lbf,s^2/in^2 e
.
Da relação vem
Sabemos que
Da relação
No SI:
tem unidade de
.
No sistema inglês (lbf, in, s):
No sistema inglês (lbf, in, s):
Passo 4
Para achar a tensão máxima, note que
taumax = 64,k,umax^2,(h/2)^2h^4 = 64,k,umax^2,h^2/4h^4 = 16,k,umax^2h^2 cresce com
, então o pico fica em
.
Substituindo em
, temos
Substituindo
Resposta
(a)
(b) No SI: em
.
No inglês: em
©
(b) No SI:
No inglês:
©