Questão 1: Distribuições Não Uniformes

Uma esfera isolante de raio " R " possui uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio conforme a função \rho(r)=\rho_{0}\left(1-r^{2} / R^{2}\right).
A) Determine a carga total da esfera em termos de \rho_{0} e R
B) Analise o comportamento do campo elétrico \mathrm{E}(\mathrm{r}) para \mathrm{r}<\mathrm{R}. Em que ponto o campo elétrico atinge seu valor máximo absoluto? Justifique fisicamente por que o campo não cresce linearmente como em uma esfera de densidade uniforme.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • Densidade volumétrica de carga em função do raio: \rho(r)=\rho_{0}\left(1-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right) para 0\le r\le R.
    • A esfera tem raio R. Não foi dito explicitamente, mas assumimos \rho_{0} constante positiva (caso contrário o cálculo formal continua válido).
  • O que o enunciado pede:
    • (A) Determinar a carga total da esfera em termos de \rho_{0} e R.
    • (B) Analisar o comportamento do campo elétrico E(r) para r<R. Em particular:
      • Obter E(r) para r<R.
      • Determinar em que ponto r o campo atinge seu valor máximo absoluto.
      • Justificar fisicamente por que o campo não cresce linearmente como no caso de densidade uniforme.

Passo 2

Cálculo da carga total (parte A). Estratégia e conceitos usados (passo didático):
  • A carga total Q é a integral da densidade volumétrica sobre o volume da esfera.
  • Num elemento esférico entre r e r+dr o volume é dV = 4\pi r^{2}\,dr. Explicação: dividir a esfera em cascas esféricas finas; cada casca tem área de superfície 4\pi r^{2} e espessura dr, então volume aproximado 4\pi r^{2}dr.
  • Portanto a carga total é
Q=\int_{V}\rho(r)\,dV=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Agora substituímos \rho(r)=\rho_{0}\left(1-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right) na integral e resolvemos passo a passo:
Q=4\pi\rho_{0}\int_{0}^{R}\left(1-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right)r^{2}\,dr.

Passo 3

Continuação do cálculo da integral (detalhando cada termo):
  • Expandindo o integrando:
\left(1-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right)r^{2}=r^{2}-\dfrac{r^{4}}{R^{2}}.
  • Assim
Q=4\pi\rho_{0}\left(\int_{0}^{R}r^{2}\,dr-\dfrac{1}{R^{2}}\int_{0}^{R}r^{4}\,dr\right).
  • Integrais elementares:
\int_{0}^{R}r^{2}\,dr=\left[\dfrac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{R}=\dfrac{R^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{R}r^{4}\,dr=\left[\dfrac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{R}=\dfrac{R^{5}}{5}.
  • Substituindo:
Q=4\pi\rho_{0}\left(\dfrac{R^{3}}{3}-\dfrac{1}{R^{2}}\cdot\dfrac{R^{5}}{5}\right) =4\pi\rho_{0}\left(\dfrac{R^{3}}{3}-\dfrac{R^{3}}{5}\right).
  • Calculando a diferença:
\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-3}{15}=\dfrac{2}{15},
logo
Q=4\pi\rho_{0}\cdot\dfrac{2}{15}R^{3}=\dfrac{8\pi}{15}\rho_{0}R^{3}.

Passo 4

Determinação de E(r) para r<R (começando pela lei de Gauss e explicando-a):
  • Lei de Gauss (forma integral): o fluxo elétrico sobre uma superfície fechada iguala a carga envolvida divisada por \varepsilon_{0}:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Para uma distribuição esférica com densidade radial, o campo resultante é radial e tem simetria esférica; então em uma superfície gaussiana esférica de raio r<R o campo tem módulo E(r) constante sobre a superfície e o fluxo é E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • Assim
E(r)\,4\pi r^{2}=\dfrac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga contida dentro do raio r. Agora calculamos Q_{\text{int}}(r) do mesmo modo que fizemos para Q, mas com limite superior r em vez de R:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\left(1-\dfrac{r'^{2}}{R^{2}}\right)r'^{2}\,dr'.

Passo 5

Cálculo explícito de Q_{\text{int}}(r) e formulação de E(r):
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{r}\left(r'^{2}-\dfrac{r'^{4}}{R^{2}}\right)dr' =\left[\dfrac{r'^{3}}{3}-\dfrac{r'^{5}}{5R^{2}}\right]_{0}^{r} =\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{r^{5}}{5R^{2}}.
  • Assim
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\rho_{0}\left(\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{r^{5}}{5R^{2}}\right).
  • Aplicando Gauss:
E(r)=\dfrac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} =\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{r}{3}-\dfrac{r^{3}}{5R^{2}}\right).
  • Colocando num único fator simplificado:
E(r)=\dfrac{\rho_{0}}{15\varepsilon_{0}R^{2}}\,r\left(5R^{2}-3r^{2}\right).
Explicação das variáveis na fórmula:
  • \rho_{0} é a constante que aparece na densidade dada.
  • R é o raio da esfera.
  • r é o raio da superfície gaussiana (posição onde se mede E).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo (constante física).

Passo 6

Comportamento inicial (próximo ao centro) e comparação com esfera de densidade uniforme:
  • Para r\to 0 aproximamos E(r) por termos dominantes em potência baixa de r. Na expressão
E(r)=\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{r}{3}-\dfrac{r^{3}}{5R^{2}}\right),
o termo linear domina para r pequeno, então
E(r)\approx \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r\quad\text{quando }r\ll R.
  • Observação física: isso é exatamente o mesmo comportamento linear próximo ao centro que uma esfera de densidade uniforme apresenta; a razão é que, bem perto do centro, a variação de densidade com r é pequena e a contribuição total de carga interna cresce aproximadamente como r^{3}, gerando E\propto r.
  • Contudo, para r maiores a presença do termo -\dfrac{r^{3}}{5R^{2}} reduz o crescimento de Q_{\text{int}}(r) em relação ao caso uniforme, e portanto o campo deixa de crescer linearmente no todo do intervalo 0<r<R.

Passo 7

Determinação do ponto onde E(r) é máximo (procedimento matemático e conclusão física):
  • Para achar extremos calcule dE/dr e zere:
E(r)=\dfrac{\rho_{0}}{15\varepsilon_{0}R^{2}}\left(5R^{2}r-3r^{3}\right).
  • Derivando em relação a r:
\dfrac{dE}{dr}=\dfrac{\rho_{0}}{15\varepsilon_{0}R^{2}}\left(5R^{2}-9r^{2}\right).
  • Zerar a derivada:
5R^{2}-9r^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=\dfrac{5}{9}R^{2}.
  • Como r\ge 0 tomamos
r_{\text{máx}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\,R.á
  • Verificação de máximo: para r=0 temos dE/dr>0, e para r grande abaixo de R o termo -9r^{2} domina tornando a derivada negativa; portanto a raiz encontrada corresponde a um máximo local. (Também pode-se checar d^{2}E/dr^{2}=-\dfrac{18\rho_{0}}{15\varepsilon_{0}R^{2}}r<0 em r>0, o que confirma máximo.)
  • Valor do campo no máximo (cálculo explícito):
    Substituindo r_{\text{máx}}^{2}=\dfrac{5}{9}R^{2}á em 5R^{2}-3r^{2} obtém-se 5R^{2}-3\cdot\dfrac{5}{9}R^{2}=\dfrac{10}{3}R^{2}. Então
E_{\text{máx}}= \dfrac{\rho_{0}}{15\varepsilon_{0}R^{2}}\left(r_{\text{máx}}\cdot \dfrac{10}{3}R^{2}\right) = \dfrac{\rho_{0}R}{\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{2\sqrt{5}}{27}.áá
  • Aproximação numérica útil:
\dfrac{2\sqrt{5}}{27}\approx 0{,}1656,
logo E_{\text{máx}}\approx 0{,}1656\,\dfrac{\rho_{0}R}{\varepsilon_{0}}á.

Passo 8

Justificação física intuitiva do porquê o campo não cresce linearmente até a superfície:
  • Em uma esfera de densidade uniforme a carga interna até raio r cresce como Q_{\text{int}}\propto r^{3}. Como E(r)\propto Q_{\text{int}}/r^{2}, isso dá E\propto r: crescimento linear.
  • Aqui a densidade diminui com r (é maior no centro e menor nas cascas externas). Isso faz com que o aumento de carga interna com r seja mais lento que r^{3} quando r fica grande: a contribuição das cascas externas é reduzida. Matematicamente aparece o termo negativo -\dfrac{r^{5}}{5R^{2}} em Q_{\text{int}}(r). O efeito combinado é:
    • Para r pequeno a contribuição cúbica domina e E cresce quase linearmente.
    • À medida que r aumenta, o termo de ordem r^{5} começa a reduzir a razão Q_{\text{int}}/r^{2}, fazendo E crescer mais devagar, atingir um pico, e então diminuir até o valor de superfície.
  • Físicamente: camadas externas têm menos carga do que na esfera uniforme, então além de certo ponto acrescentar cascas aumenta muito pouco a carga interna enquanto a área 4\pi r^{2} (no denominador via Gauss) continua aumentando; esse balanço causa o máximo interno e evita crescimento linear contínuo.

Resposta

(A) \displaystyle Q=\dfrac{8\pi}{15}\rho_{0}R^{3}
(B) \displaystyle E(r)=\dfrac{\rho_{0}}{15\varepsilon_{0}R^{2}}\,r\left(5R^{2}-3r^{2}\right)\quad\text{para }0\le r<R
O campo atinge seu valor máximo em \displaystyle r_{\text{máx}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}Rá.
O valor máximo é \displaystyle E_{\text{máx}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{27}\,\dfrac{\rho_{0}R}{\varepsilon_{0}}á.

Exercícios relacionados