Questão 1: Distribuições Não Uniformes
Uma esfera isolante de raio "
" possui uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio conforme a função
.
A) Determine a carga total da esfera em termos de
e
B) Analise o comportamento do campo elétrico
para
. Em que ponto o campo elétrico atinge seu valor máximo absoluto? Justifique fisicamente por que o campo não cresce linearmente como em uma esfera de densidade uniforme.
A) Determine a carga total da esfera em termos de
B) Analise o comportamento do campo elétrico
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
- Dados fornecidos:
- Densidade volumétrica de carga em função do raio:
para . - A esfera tem raio
. Não foi dito explicitamente, mas assumimos constante positiva (caso contrário o cálculo formal continua válido).
- Densidade volumétrica de carga em função do raio:
- O que o enunciado pede:
- (A) Determinar a carga total da esfera em termos de
e . - (B) Analisar o comportamento do campo elétrico
para . Em particular: - Obter
para . - Determinar em que ponto
o campo atinge seu valor máximo absoluto. - Justificar fisicamente por que o campo não cresce linearmente como no caso de densidade uniforme.
- Obter
- (A) Determinar a carga total da esfera em termos de
Passo 2
Cálculo da carga total (parte A). Estratégia e conceitos usados (passo didático):
- A carga total
é a integral da densidade volumétrica sobre o volume da esfera. - Num elemento esférico entre
e o volume é . Explicação: dividir a esfera em cascas esféricas finas; cada casca tem área de superfície e espessura , então volume aproximado . - Portanto a carga total é
Agora substituímos
na integral e resolvemos passo a passo:
Passo 3
Continuação do cálculo da integral (detalhando cada termo):
- Expandindo o integrando:
- Assim
- Integrais elementares:
- Substituindo:
- Calculando a diferença:
logo
Passo 4
Determinação de
para
(começando pela lei de Gauss e explicando-a):
- Lei de Gauss (forma integral): o fluxo elétrico sobre uma superfície fechada iguala a carga envolvida divisada por
:
- Para uma distribuição esférica com densidade radial, o campo resultante é radial e tem simetria esférica; então em uma superfície gaussiana esférica de raio
o campo tem módulo constante sobre a superfície e o fluxo é . - Assim
onde
é a carga contida dentro do raio
. Agora calculamos
do mesmo modo que fizemos para
, mas com limite superior
em vez de
:
Passo 5
Cálculo explícito de
e formulação de
:
- Calcule a integral:
- Assim
- Aplicando Gauss:
- Colocando num único fator simplificado:
Explicação das variáveis na fórmula:
-
é a constante que aparece na densidade dada. -
é o raio da esfera. -
é o raio da superfície gaussiana (posição onde se mede ). -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante física).
Passo 6
Comportamento inicial (próximo ao centro) e comparação com esfera de densidade uniforme:
- Para
aproximamos por termos dominantes em potência baixa de . Na expressão
o termo linear domina para
pequeno, então
- Observação física: isso é exatamente o mesmo comportamento linear próximo ao centro que uma esfera de densidade uniforme apresenta; a razão é que, bem perto do centro, a variação de densidade com
é pequena e a contribuição total de carga interna cresce aproximadamente como , gerando . - Contudo, para
maiores a presença do termo reduz o crescimento de em relação ao caso uniforme, e portanto o campo deixa de crescer linearmente no todo do intervalo .
Passo 7
Determinação do ponto onde
é máximo (procedimento matemático e conclusão física):
- Para achar extremos calcule
e zere:
- Derivando em relação a
:
- Zerar a derivada:
- Como
tomamos
- Verificação de máximo: para
temos , e para grande abaixo de o termo domina tornando a derivada negativa; portanto a raiz encontrada corresponde a um máximo local. (Também pode-se checar em , o que confirma máximo.) - Valor do campo no máximo (cálculo explícito):
Substituindoem obtém-se . Então
- Aproximação numérica útil:
logo
.
Passo 8
Justificação física intuitiva do porquê o campo não cresce linearmente até a superfície:
- Em uma esfera de densidade uniforme a carga interna até raio
cresce como . Como , isso dá : crescimento linear. - Aqui a densidade diminui com
(é maior no centro e menor nas cascas externas). Isso faz com que o aumento de carga interna com seja mais lento que quando fica grande: a contribuição das cascas externas é reduzida. Matematicamente aparece o termo negativo em . O efeito combinado é: - Para
pequeno a contribuição cúbica domina e cresce quase linearmente. - À medida que
aumenta, o termo de ordem começa a reduzir a razão , fazendo crescer mais devagar, atingir um pico, e então diminuir até o valor de superfície.
- Para
- Físicamente: camadas externas têm menos carga do que na esfera uniforme, então além de certo ponto acrescentar cascas aumenta muito pouco a carga interna enquanto a área
(no denominador via Gauss) continua aumentando; esse balanço causa o máximo interno e evita crescimento linear contínuo.
Resposta
(A)
(B)
O campo atinge seu valor máximo em .
O valor máximo é .
O campo atinge seu valor máximo em
O valor máximo é