Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida
por
.
Divida
Passo 1
O enunciado pede: dividir o polinômio
pelo polinômio
, apresentando o quociente e o resto.
Informações dadas (extraídas do enunciado): e o divisor é
.
O que precisamos encontrar: o polinômio quociente e o resto
tais que
.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
O que precisamos encontrar: o polinômio quociente
Passo 2
Conceito importante (Divisão de polinômios): para polinômios
e
com
existe única decomposição
onde
é o quociente e
é o resto com
.
No caso em que (divisor linear), o resto
é uma constante (grau 0). Além disso vale o Teorema do Resto: o resto da divisão de
por
é exatamente
. Aqui, com
, isso significa que o resto será
. Vou usar também o método prático chamado “Ruffini” (ou divisão sintética) para obter o quociente e o resto de forma rápida.
No caso em que
Passo 3
Explicando a divisão sintética (Ruffini) de forma didática:
- Para dividir por
tomamos (a raiz do divisor) e os coeficientes de . - Escrevemos os coeficientes em linha e aplicamos um processo repetido: “trazer o primeiro coeficiente para baixo”, multiplicar esse valor por
e somar ao próximo coeficiente, repetir até o fim. - O resultado final (exceto o último número) são os coeficientes do quociente, e o último número é o resto.
As variáveis aqui:é o número do divisor , os coeficientes são os números que acompanham as potências de em .
Passo 4
Aplicando Ruffini com
(porque o divisor é
). Coeficientes de
:
(respectivamente de
). Faço as operações passo a passo:
- Escrevo a linha inicial de coeficientes:
. - Trago o primeiro coeficiente
para baixo (ele será o primeiro coeficiente do quociente). - Multiplico esse
por : . Somo com o próximo coeficiente: . Esse é o segundo coeficiente do quociente. - Multiplico
por : . Somo com o próximo coeficiente: . Esse é o terceiro coeficiente do quociente. - Multiplico
por : . Somo com o último coeficiente: . Esse é o resto.
Organizando os resultados: os coeficientes do quociente (da maior para a menor potência) são
, isto é o polinômio
E o resto obtido pela divisão sintética é
.
Passo 5
Checagem pelo Teorema do Resto (confirmação rápida): o resto da divisão por
deve ser
. Calculo
passo a passo:
Agora as potências e multiplicações:
Somando:
Logo
, que é exatamente o resto encontrado pela divisão sintética — consistência confirmada.
Passo 6
Verificação expandindo a identidade da divisão (checar que realmente recuperamos
): calculo
com
e
.
Primeiro multiplico
por
:
Calculando cada parte:
Somando:
Agora adiciono o resto
:
que é exatamente
. A identidade está confirmada.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: