Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida 2 x^{3}+3 x^{2}-5 x+6 por x-2.

Passo 1

O enunciado pede: dividir o polinômio \;2x^{3}+3x^{2}-5x+6\; pelo polinômio \;x-2\;, apresentando o quociente e o resto.
Informações dadas (extraídas do enunciado): \;f(x)=2x^{3}+3x^{2}-5x+6\; e o divisor é \;x-2\;.
O que precisamos encontrar: o polinômio quociente q(x) e o resto r(x) tais que \;f(x)=(x-2)\,q(x)+r(x).

Passo 2

Conceito importante (Divisão de polinômios): para polinômios f(x) e g(x) com \deg g\ge1 existe única decomposição
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x),
onde q(x) é o quociente e r(x) é o resto com \deg r<\deg g.
No caso em que g(x)=x-a (divisor linear), o resto r(x) é uma constante (grau 0). Além disso vale o Teorema do Resto: o resto da divisão de f(x) por x-a é exatamente f(a). Aqui, com x-2, isso significa que o resto será f(2). Vou usar também o método prático chamado “Ruffini” (ou divisão sintética) para obter o quociente e o resto de forma rápida.

Passo 3

Explicando a divisão sintética (Ruffini) de forma didática:
  • Para dividir por \;x-a\; tomamos a (a raiz do divisor) e os coeficientes de f(x).
  • Escrevemos os coeficientes em linha e aplicamos um processo repetido: “trazer o primeiro coeficiente para baixo”, multiplicar esse valor por a e somar ao próximo coeficiente, repetir até o fim.
  • O resultado final (exceto o último número) são os coeficientes do quociente, e o último número é o resto.
    As variáveis aqui: a é o número do divisor x-a, os coeficientes são os números que acompanham as potências de x em f(x).

Passo 4

Aplicando Ruffini com a=2 (porque o divisor é \;x-2\;). Coeficientes de f(x): 2,\;3,\;-5,\;6 (respectivamente de x^3,x^2,x,1). Faço as operações passo a passo:
  • Escrevo a linha inicial de coeficientes: 2\quad 3\quad -5\quad 6.
  • Trago o primeiro coeficiente 2 para baixo (ele será o primeiro coeficiente do quociente).
  • Multiplico esse 2 por a=2: 2\cdot 2 = 4. Somo com o próximo coeficiente: 3 + 4 = 7. Esse 7 é o segundo coeficiente do quociente.
  • Multiplico 7 por 2: 7\cdot 2 = 14. Somo com o próximo coeficiente: -5 + 14 = 9. Esse 9 é o terceiro coeficiente do quociente.
  • Multiplico 9 por 2: 9\cdot 2 = 18. Somo com o último coeficiente: 6 + 18 = 24. Esse 24 é o resto.
Organizando os resultados: os coeficientes do quociente (da maior para a menor potência) são 2,\;7,\;9, isto é o polinômio
q(x)=2x^{2}+7x+9.
E o resto obtido pela divisão sintética é r=24.

Passo 5

Checagem pelo Teorema do Resto (confirmação rápida): o resto da divisão por \;x-2\; deve ser f(2). Calculo f(2) passo a passo:
f(2)=2\cdot 2^{3}+3\cdot 2^{2}-5\cdot 2+6.
Agora as potências e multiplicações:
2^{3}=8,\quad 2^{2}=4,
2\cdot 8 =16,\quad 3\cdot 4=12,\quad -5\cdot 2=-10.
Somando:
16+12-10+6 = 28-10+6 =18+6=24.
Logo f(2)=24, que é exatamente o resto encontrado pela divisão sintética — consistência confirmada.

Passo 6

Verificação expandindo a identidade da divisão (checar que realmente recuperamos f(x)): calculo (x-2)\,q(x)+r com q(x)=2x^{2}+7x+9 e r=24.
Primeiro multiplico (x-2) por q(x):
(x-2)(2x^{2}+7x+9)=x(2x^{2}+7x+9)-2(2x^{2}+7x+9).
Calculando cada parte:
x(2x^{2}+7x+9)=2x^{3}+7x^{2}+9x,
-2(2x^{2}+7x+9)=-4x^{2}-14x-18.
Somando:
2x^{3}+(7x^{2}-4x^{2})+(9x-14x)-18 = 2x^{3}+3x^{2}-5x-18.
Agora adiciono o resto +24:
2x^{3}+3x^{2}-5x-18+24 = 2x^{3}+3x^{2}-5x+6,
que é exatamente f(x). A identidade está confirmada.

Resposta

Quociente: 2x^{2}+7x+9
Resto: 24

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