Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida x^{3}-4 x^{2}+x+6 por x-3.

Passo 1

O enunciado pede: dividir o polinômio x^{3}-4x^{2}+x+6 pelo polinômio divisor x-3 e apresentar o quociente e o resto.\n
Informações dadas:
\text{Dividendo: }x^{3}-4x^{2}+x+6
\text{Divisor: }x-3
A saída desejada é: quociente (polinômio) e resto (número).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a divisão sintética (também chamada de esquema de Ruffini), porque o divisor é da forma x-a com coeficiente líder igual a 1 (aqui a=3). A divisão sintética é um atalho prático e rápido da divisão longa para esse caso — é suficiente para a prova e menos trabalhosa. Vou explicar como ela funciona enquanto aplico.

Passo 3

Preparação da divisão sintética: para dividir por x-3 usamos o número a=3. Pegamos os coeficientes do dividendo, na ordem dos graus decrescentes:
\text{coeficientes }:\quad 1,\\\ -4,\\\ 1,\\\ 6
Esses correspondem aos termos 1\cdot x^{3},\\\ -4\cdot x^{2},\\\ 1\cdot x,\\\ 6.

Passo 4

Aplicando o algoritmo (passo a passo, com explicação do que cada operação faz):
  1. Trago o primeiro coeficiente para baixo; ele será o primeiro coeficiente do quociente.
\text{trago }1
  1. Multiplico esse valor por a=3 e somo ao próximo coeficiente do dividendo. Isso corresponde a subtrair (na divisão longa) o produto apropriado e obter o novo “resto parcial”.
1\times 3 = 3,\quad -4+3 = -1

Passo 5

Continuo o processo:
  1. Multiplico o novo valor -1 por 3 e somo ao próximo coeficiente.
-1\times 3 = -3,\quad 1+(-3) = -2
  1. Multiplico esse -2 por 3 e somo ao último coeficiente (que dará o resto).
-2\times 3 = -6,\quad 6+(-6) = 0

Passo 6

Agora recolho os resultados da divisão sintética. Os números que fui trazendo para baixo formam os coeficientes do quociente, e o último valor obtido é o resto:
\text{coeficientes do quociente: }1,\\\ -1,\\\ -2
\text{resto: }0
Transformando os coeficientes em polinômio (lembrando que partimos de grau 3, então o quociente tem grau 2):
\text{quociente }=1\cdot x^{2}-1\cdot x-2 = x^{2}-x-2
\text{resto }=0

Passo 7

Cheque rápido usando o Teorema do Resto: o resto da divisão de um polinômio f(x) por x-a é f(a). Calculo f(3) para verificar:
f(3)=3^{3}-4\cdot 3^{2}+3+6 = 27-36+3+6 = 0
Como f(3)=0, o resto é realmente 0, o que confirma a divisão. Além disso, isso mostra que x-3 é um fator de f(x).

Passo 8

Observação útil para a prova: com o quociente encontrado, podemos escrever a fatoração
x^{3}-4x^{2}+x+6=(x-3)(x^{2}-x-2).
Se preciso, o quociente x^{2}-x-2 também pode ser fatorado:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1),
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x^{3}-4x^{2}+x+6=(x-3)(x-2)(x+1).

Resposta

Quociente: x^{2}-x-2
Resto: 0

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