Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida
por
.
Divida
Passo 1
O enunciado pede: dividir o polinômio
pelo polinômio divisor
e apresentar o quociente e o resto.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A saída desejada é: quociente (polinômio) e resto (número).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a divisão sintética (também chamada de esquema de Ruffini), porque o divisor é da forma
com coeficiente líder igual a
(aqui
). A divisão sintética é um atalho prático e rápido da divisão longa para esse caso — é suficiente para a prova e menos trabalhosa. Vou explicar como ela funciona enquanto aplico.
Passo 3
Preparação da divisão sintética: para dividir por
usamos o número
. Pegamos os coeficientes do dividendo, na ordem dos graus decrescentes:
Esses correspondem aos termos
.
Passo 4
Aplicando o algoritmo (passo a passo, com explicação do que cada operação faz):
- Trago o primeiro coeficiente para baixo; ele será o primeiro coeficiente do quociente.
- Multiplico esse valor por
e somo ao próximo coeficiente do dividendo. Isso corresponde a subtrair (na divisão longa) o produto apropriado e obter o novo “resto parcial”.
Passo 5
Continuo o processo:
- Multiplico o novo valor
por e somo ao próximo coeficiente.
- Multiplico esse
por e somo ao último coeficiente (que dará o resto).
Passo 6
Agora recolho os resultados da divisão sintética. Os números que fui trazendo para baixo formam os coeficientes do quociente, e o último valor obtido é o resto:
Transformando os coeficientes em polinômio (lembrando que partimos de grau
, então o quociente tem grau
):
Passo 7
Cheque rápido usando o Teorema do Resto: o resto da divisão de um polinômio
por
é
. Calculo
para verificar:
Como
, o resto é realmente
, o que confirma a divisão. Além disso, isso mostra que
é um fator de
.
Passo 8
Observação útil para a prova: com o quociente encontrado, podemos escrever a fatoração
Se preciso, o quociente
também pode ser fatorado:
logo
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: