Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' + y' + y = xsin x
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea e depois construir uma particular que anule o membro direito.

Passo 2

Para a equação homogênea associada
y'' + y' + y = 0
supomos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo, obtemos a equação característica
r^2 + r + 1 = 0
As raízes são
r = -1 pm iraiz32
Logo, a solução geral homogênea é
yh(x) = e^-x/2l(C1costfracraiz32x + C2sintfracraiz32xr)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é xsin x, que é um polinômio de grau 1 multiplicado por sin x, escolhemos o palpite
yp(x) = (A x + B)sin x + (C x + D)cos x
ounte as constantes A,B,C,D a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp. Definindo
alpha(x)=A x + B, beta(x)=C x + D,
temos
yp = alpha,sin x + beta,cos x,
yp' = (alpha' - beta)sin x + (alpha + beta')cos x = (-C x + A - D)sin x + (A x + B + C)cos x,
yp'' = (alpha' - beta)'sin x + (alpha + beta')'cos x = (-A x - B - 2C)sin x + (-C x + 2A - D)cos x

Passo 5

Substituímos na equação original y''+y'+y=yp''+yp'+yp e agrupamos os coeficientes de sin x e cos x. O resultado é
L[yp]=( -C x + (A - D - 2C) )sin x + ( A x + (2A + B + C) )cos x
que deve igualar xsin x + 0cos x.

Passo 6

Igualando coeficientes obtemos o sistema:
coeficiente de x em sin x: -C=1 C=-1,
constante em sin x: A - D - 2C = 0 A - D +2=0,
coeficiente de x em cos x: A=0,
constante em cos x: 2A + B + C=0 B -1=0.
Resolvendo, A=0, B=1, C=-1, D=A+2=2.

Passo 7

Com esses valores, a solução particular fica
yp(x)=1cdotsin x +(-1,x+2)cos x = sin x + (2 - x)cos x
Assim, a solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x)=e^-x/2l(C1cos(tfracraiz32x)+C2sin(tfracraiz32x)r)+sin x+(2 - x)cos x

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