Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea e depois construir uma particular que anule o membro direito.
Passo 2
Para a equação homogênea associada
supomos uma solução do tipo
. Substituindo, obtemos a equação característica
As raízes são
Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
, que é um polinômio de grau 1 multiplicado por
, escolhemos o palpite
ounte as constantes
a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Definindo
temos
Passo 5
Substituímos na equação original
e agrupamos os coeficientes de
e
. O resultado é
que deve igualar
.
Passo 6
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
coeficiente de em
:
⇒
,
constante em :
⇒
,
coeficiente de em
:
,
constante em :
⇒
.
Resolvendo, ,
,
,
.
coeficiente de
constante em
coeficiente de
constante em
Resolvendo,
Passo 7
Com esses valores, a solução particular fica
Assim, a solução geral da EDO é a soma de
e
.