Questão 2 - Dois carros movem-se no mesmo sentido em uma estrada retilínea com velocidades v_{\mathrm{A}}=108 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e v_{\mathrm{B}}=72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, respectivamente. Quando a frente do carro A está a 10 m atrás da traseira do carro B, o motorista do carro A freia, causando uma desaceleração a=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) calcule a distância percorrida pelo carro A até que ele colida com o carro B ;
b) repita o cálculo do item anterior, mas agora supondo que v_{\mathrm{A}}=90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado trata de dois carros em movimento retilíneo uniforme relativo entre si: o carro A, atrás, e o carro B, à frente, ambos no mesmo sentido. Sabemos as velocidades iniciais v_A e v_B, o espaço livre inicial entre eles ( d_0=10\\ \mathrm{m}) e a desaceleração constante do carro A ( a=5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2). Vamos usar o modelo de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e a técnica de reduzir ao movimento relativo, onde a posição relativa x_{\mathrm{rel}}(t) satisfaz
x_{\mathrm{rel}}(t)=v_{\mathrm{rel}}\,t-\tfrac12\,a_{\mathrm{rel}}\,t^2
e a colisão ocorre quando x_{\mathrm{rel}}(t)=d_0.

Passo 2

Converter as velocidades para o SI:
v_A=108\\ \mathrm{km/h}=\frac{108\cdot1000}{3600}=30\\ \mathrm{m/s},\quad v_B=72\\ \mathrm{km/h}=\frac{72\cdot1000}{3600}=20\\ \mathrm{m/s}.
No item (b) teremos v_A=90\\ \mathrm{km/h}=25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

No referencial de B, a velocidade relativa inicial é
v_{\mathrm{rel}}=v_A-v_B,
e a desaceleração relativa é a_{\mathrm{rel}}=a. A condição de colisão é
v_{\mathrm{rel}}\,t-\tfrac12\,a\,t^2=d_0.
Reorganizando:
\tfrac12\,a\,t^2 - v_{\mathrm{rel}}\,t + d_0 = 0.

Passo 4

Item (a): v_A=30\\ \mathrm{m/s}, logo v_{\mathrm{rel}}=30-20=10\\ \mathrm{m/s}. A equação de segundo grau é
2{,}5\,t^2 -10\,t +10 =0.
Divide por 2{,}5:
t^2 -4\,t +4=0\quad\Rightarrow\quad (t-2)^2=0\quad\Rightarrow\quad t=2\\ \mathrm{s}.
Agora a distância percorrida pelo carro A até a colisão em t=2\\ \mathrm{s} é
s_A = v_A\,t - \tfrac12\,a\,t^2 =30\cdot2 - \tfrac12\cdot5\cdot2^2 =60 -10 =50\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Item (b): v_A=25\\ \mathrm{m/s}, então v_{\mathrm{rel}}=25-20=5\\ \mathrm{m/s}. A equação fica
2{,}5\,t^2 -5\,t +10 =0.
O discriminante é
\Delta =(-5)^2 -4\cdot2{,}5\cdot10 =25 -100 = -75 <0,
ou seja, não há solução real para t: não ocorre colisão, pois o carro A para antes de alcançar o B. A distância até parar completamente vale
s_{\text{parada}} = \frac{v_A^2}{2\,a} = \frac{25^2}{2\cdot5} = \frac{625}{10} =62{,}5\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 50\\ \mathrm{m}
(b) não há colisão (o carro A para após 62{,}5\\ \mathrm{m}).

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