Questão 1. Dois vértices de uma elipse são os pontos A_{1}=(-4,0) e A_{2}=(4,0) e seus focos são os pontos F_{1}=(-3,0) e F_{2}=(3,0). Determine, a distância focal, o comprimento do eixo maior, o comprimento do eixo menor, a excentricidade da elipse, a equação reduzida e apresente um esboço dessa elipse.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com vértices A_{1}=(-4,0) e A_{2}=(4,0) e focos F_{1}=(-3,0), F_{2}=(3,0). O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos encontrar
  • o semi-eixo maior a e o semi-eixo focal c,
  • a partir deles calcular o semi-eixo menor b,
  • depois determinar distância focal, comprimentos dos eixos, excentricidade e,
  • escrever a equação reduzida \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
  • e por fim fazer um esboço simples.

Passo 2

Os vértices estão em (-4,0) e (4,0), logo a distância entre eles é 8. O semi-eixo maior é
a = \tfrac{8}{2} = 4.
Os focos estão em (-3,0) e (3,0), logo a distância entre eles é 6. O semi-eixo focal é
c = \tfrac{6}{2} = 3.

Passo 3

Na elipse vale a relação
b^2 = a^2 - c^2.
Substituindo a=4 e c=3,
b^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7,
logo
b = \sqrt{7}.

Passo 4

Com isso:
  • distância focal =2c = 2\cdot3 = 6,
  • comprimento do eixo maior =2a = 2\cdot4 = 8,
  • comprimento do eixo menor =2b = 2\sqrt{7}.

Passo 5

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{3}{4}.

Passo 6

A equação reduzida, com centro na origem e eixo maior ao longo de x, é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1.

Passo 7

Esboço aproximado no plano (x,y):
 y
 |
 (0,√7)* 
 |
(-4,0)*---*---*---*---*(4,0)
 A1 F\(10\) F2 A2
 |
 (0,-√7)*
 |
 +--> x

Resposta

Distância focal: 6
Comprimento do eixo maior: 8
Comprimento do eixo menor: 2\sqrt{7}
Excentricidade: \tfrac{3}{4}
Equação reduzida:
\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1
Esboço conforme acima.

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