Questão 1
(a) Enuncie e demonstre o Teorema do núcleo e da imagem.
(b) Se
e
são dois espaços tais que
. Mostre que
e
são isomorfos.
(a) Enuncie e demonstre o Teorema do núcleo e da imagem.
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas.
(a) Enunciar e demonstrar o Teorema do núcleo e da imagem (também chamado de Teorema da dimensão ou rank–nullity). O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e transformações lineares; vamos usar bases, extensões de bases e propriedades de dimensão.
(b) Mostrar que dois espaços vetoriais finito-dimensionais e
com
são isomorfos; o método é exibir explicitamente um mapeamento linear bijetivo usando bases.
(a) Enunciar e demonstrar o Teorema do núcleo e da imagem (também chamado de Teorema da dimensão ou rank–nullity). O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e transformações lineares; vamos usar bases, extensões de bases e propriedades de dimensão.
(b) Mostrar que dois espaços vetoriais finito-dimensionais
Passo 2
Enunciado do Teorema do núcleo e da imagem.
Seja uma aplicação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita. Então vale
Seja
Passo 3
Demonstração do Teorema do núcleo e da imagem.
Comece escolhendo uma base de
. Como
e
, podemos estender essa base a uma base de
. Logo existe
tal que
Comece escolhendo uma base
é base de
. Pela linearidade de
, temos
, e os vetores
geram
.
Agora mostramos que esses vetores são linearly independent em
. Suponha
Agora mostramos que esses
Então
ou seja,
. Mas
é base de
, e
são linearmente independentes de
. Logo a combinação só pode estar em
se
.
Portanto
Portanto
resultando em
Passo 4
Demonstração de que espaços de mesma dimensão são isomorfos.
Sejam e
espaços vetoriais com
Sejam
Escolha uma base
de
e uma base
de
. Defina uma aplicação
enviando
para quaisquer escalares
.
Passo 5
Verificação de propriedades de
.
-
é linear por construção, pois preserva soma e escala. -
é sobrejetiva porque qualquer vetor em é combinação dos e cada combinação tem um pré-imagem óbvia em . -
é injetiva pois se então . Como é base, todos , o que implica que o vetor em era o zero.
Assim
é bijetiva e linear, logo um isomorfismo entre
e
.
Resposta
(a) Teorema do núcleo e da imagem: para toda aplicação linear
com
,
conforme demonstrado pela escolha de base de
, extensão a base de
e análise da imagem.
(b) Se , escolhendo bases de
e
de mesmo tamanho podemos definir um mapeamento linear bijetivo que envia cada vetor da base de
ao correspondente em
. Esse mapeamento é isomorfismo, logo
.
(b) Se