Questão 1
(a) Enuncie e demonstre o Teorema do núcleo e da imagem.
(b) Se V e W são dois espaços tais que \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W. Mostre que V e W são isomorfos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas.
(a) Enunciar e demonstrar o Teorema do núcleo e da imagem (também chamado de Teorema da dimensão ou rank–nullity). O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e transformações lineares; vamos usar bases, extensões de bases e propriedades de dimensão.
(b) Mostrar que dois espaços vetoriais finito-dimensionais V e W com \dim V=\dim W são isomorfos; o método é exibir explicitamente um mapeamento linear bijetivo usando bases.

Passo 2

Enunciado do Teorema do núcleo e da imagem.
Seja T\colon V\to W uma aplicação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita. Então vale
\dim V \;=\;\dim\ker T\;+\;\dim\operatorname{Im}T.

Passo 3

Demonstração do Teorema do núcleo e da imagem.
Comece escolhendo uma base \{v_1,\dots,v_k\} de \ker T. Como \ker T\subseteq V e \dim V<\infty, podemos estender essa base a uma base de V. Logo existe \{v_{k+1},\dots,v_n\} tal que
\{v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n\}
é base de V. Pela linearidade de T, temos T(v_1)=\cdots=T(v_k)=0, e os vetores
T(v_{k+1}),\,\dots,\,T(v_n)
geram \operatorname{Im}T.
Agora mostramos que esses n-k vetores são linearly independent em \operatorname{Im}T. Suponha
a_{k+1}T(v_{k+1})+\cdots+a_nT(v_n)=0_W.
Então
T\bigl(a_{k+1}v_{k+1}+\cdots+a_nv_n\bigr)=0_W,
ou seja, a_{k+1}v_{k+1}+\cdots+a_nv_n\in\ker T. Mas \{v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n\} é base de V, e v_{k+1},\dots,v_n são linearmente independentes de v_1,\dots,v_k. Logo a combinação só pode estar em \ker T se a_{k+1}=\cdots=a_n=0.
Portanto
\dim\operatorname{Im}T = n-k \quad\text{e}\quad \dim\ker T = k,
resultando em
\dim V = n = k+(n-k)=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T.

Passo 4

Demonstração de que espaços de mesma dimensão são isomorfos.
Sejam V e W espaços vetoriais com
\dim V = \dim W = n<\infty.
Escolha uma base \{v_1,\dots,v_n\} de V e uma base \{w_1,\dots,w_n\} de W. Defina uma aplicação f\colon V\to W enviando
f\bigl(\sum_{i=1}^n a_i v_i\bigr)=\sum_{i=1}^n a_i w_i,
para quaisquer escalares a_i.

Passo 5

Verificação de propriedades de f.
  1. f é linear por construção, pois preserva soma e escala.
  2. f é sobrejetiva porque qualquer vetor em W é combinação dos w_i e cada combinação tem um pré-imagem óbvia em V.
  3. f é injetiva pois se f(\sum a_i v_i)=0 então \sum a_i w_i=0. Como \{w_i\} é base, todos a_i=0, o que implica que o vetor em V era o zero.
Assim f é bijetiva e linear, logo um isomorfismo entre V e W.

Resposta

(a) Teorema do núcleo e da imagem: para toda aplicação linear T\colon V\to W com \dim V<\infty,
\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T,
conforme demonstrado pela escolha de base de \ker T, extensão a base de V e análise da imagem.
(b) Se \dim V=\dim W=n<\infty, escolhendo bases de V e W de mesmo tamanho podemos definir um mapeamento linear bijetivo que envia cada vetor da base de V ao correspondente em W. Esse mapeamento é isomorfismo, logo V\cong W.

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