Questão 5. Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações das retas es abaixo. Verifique se as trajetórias são concorrentes, coincidentes ou paralelas. Caso sejam concorrentes, encontre o ponto de colisão das partículas.
r: 2 x-3 y=-3 e s: y=-1+x.

Passo 1

Beleza, o problema dá duas partículas cujas trajetórias são retas no plano:
r: 2x-3y=-3
s: y=-1+x
Isso é Geometria Analítica de retas: vamos precisar descobrir o “coeficiente angular” (a inclinação), classificar se são paralelas, coincidentes ou concorrentes e, se for caso de concorrência, achar o ponto de interseção resolvendo o sistema.

Passo 2

Primeiro, lembra que a forma reduzida da reta é
y=mx+b,
onde m é o coeficiente angular.
  • Duas retas com mesmo m e mesmo b são coincidentes.
  • Com mesmo m e b diferente são paralelas.
  • Com m diferente, se cruzam (são concorrentes).
Vamos pôr cada reta em y=mx+b:
Para r:2x-3y=-3
  1. Isolar y:
2x-3y=-3;Longrightarrow;-3y=-2x-3;Longrightarrow;y=2x+33=23x+1
Logo mr=tfrac23, br=1.
Para s:y=-1+x já tá em forma reduzida:
y=1cdot x-1
logo ms=1, bs=-1.
Como mrneq ms, as retas não são paralelas nem coincidentes — logo são concorrentes.

Passo 3

Agora, pra achar o ponto de interseção, basta resolver o sistema formado pelas duas expressões de y:
23x+1 = x-1
Passo a passo:
  1. 23x+1 = x-1
  2. 23x - x = -1 -1
  3. -13x = -2
  4. Multiplicando por -3: x=6.
  5. Aí, por exemplo em y=x-1:
y=6-1=5
Encontrei o ponto (6,5).

Resposta

As trajetórias são concorrentes e colidem no ponto (6,5).

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