Questão 5. Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações das retas es abaixo. Verifique se as trajetórias são concorrentes, coincidentes ou paralelas. Caso sejam concorrentes, encontre o ponto de colisão das partículas.
r:lx=3-5 t y=6-6 t, para t in R, e r: 5 y-x=2;

Passo 1

Beleza, a gente tem duas trajetórias no plano:
  1. Uma reta paramétrica
x=3-5t, y=6-6t,;tin R,
  1. Uma reta dada pela forma implícita
5y - x = 2
O conteúdo aqui é Geometria Analítica (equação de retas). Vamos precisar de:
  • Como extrair o vetor direção de uma reta paramétrica;
  • Como extrair o vetor normal de uma reta implícita;
  • Como testar se duas retas são paralelas, coincidentes ou concorrentes;
  • Se forem concorrentes, resolver o sistema pra achar o ponto de colisão.

Passo 2

Primeiro, vetor direção da reta paramétrica.
Escrevendo em forma vetorial:
r(t)=l(3,6r)+t,(-5,-6)
Logo o vetor direção é
d=(-5,,-6)
Agora a reta implícita 5y-x=2. Colocando em Ax+By+C=0:
-,x +5y -2=0,
então o vetor normal é
n=(-1,;5)
Duas retas são paralelas se o vetor direção de uma for perpendicular ao normal da outra, ou equivalentemente se seus vetores direção forem proporcionais. Vamos checar se d é perpendicular a n:
dcdot n = (-5)cdot(-1) + (-6)cdot5 = 5 -30 = -25 neq 0
Como o produto escalar não é zero, não são paralelas. Também não podem ser coincidentes, pois pra coincidir teriam que ser paralelas e ter pontos em comum infinitos. Então são concorrentes (ou seja, se cruzam num ponto).

Passo 3

Pra achar o ponto de colisão, basta substituir x(t) e y(t) na equação implícita e resolver pra t:
5,y(t);-;x(t);=;2 Longrightarrow 5(6-6t);-;(3-5t)=2
Desenvolvendo:
30 -30t -3 +5t = 2 Longrightarrow 27 -25t = 2 Longrightarrow 25t = 25 Longrightarrow t = 1
Agora o ponto:
x(1) = 3 -5cdot1 = -2, y(1) = 6 -6cdot1 = 0

Resposta

As duas trajetórias são concorrentes e colidem no ponto l(-2,,0r).

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