Questão 5. Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações das retas es abaixo. Verifique se as trajetórias são concorrentes, coincidentes ou paralelas. Caso sejam concorrentes, encontre o ponto de colisão das partículas.
, para
, e
;
Passo 1
Beleza, a gente tem duas trajetórias no plano:
- Uma reta paramétrica
- Uma reta dada pela forma implícita
O conteúdo aqui é Geometria Analítica (equação de retas). Vamos precisar de:
- Como extrair o vetor direção de uma reta paramétrica;
- Como extrair o vetor normal de uma reta implícita;
- Como testar se duas retas são paralelas, coincidentes ou concorrentes;
- Se forem concorrentes, resolver o sistema pra achar o ponto de colisão.
Passo 2
Primeiro, vetor direção da reta paramétrica.
Escrevendo em forma vetorial:
Escrevendo em forma vetorial:
Logo o vetor direção é
Agora a reta implícita
. Colocando em
:
então o vetor normal é
Duas retas são paralelas se o vetor direção de uma for perpendicular ao normal da outra, ou equivalentemente se seus vetores direção forem proporcionais. Vamos checar se
é perpendicular a
:
Como o produto escalar não é zero, não são paralelas. Também não podem ser coincidentes, pois pra coincidir teriam que ser paralelas e ter pontos em comum infinitos. Então são concorrentes (ou seja, se cruzam num ponto).
Passo 3
Pra achar o ponto de colisão, basta substituir
e
na equação implícita e resolver pra
:
Desenvolvendo:
Agora o ponto:
Resposta
As duas trajetórias são concorrentes e colidem no ponto
.