Questão Durante uma análise sobre a relação entre variáveis em um estudo psicológico, um conjunto de matrizes foi utilizado para representar dados de comportamentos. Considere as matrizes A e B dadas por:
A & =[ll 2 & 3 1 & 1 3 & 0 ] B & =[ll 1 & 1 2 & 2 3 & 4 ]
Determine o valor do determinante da matriz A^T cdot B, onde A^T é a matriz transposta de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre matrizes em um estudo psicológico e pede para a gente encontrar o determinante da matriz A^T cdot B , onde A^T é a transposta da matriz A . Vamos usar conceitos de matrizes, transposição, multiplicação de matrizes e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a matriz transposta. A transposta de uma matriz é feita trocando suas linhas por colunas. Então, vamos transpor a matriz A .
Dada a matriz A :
A = 2 & 3 1 & 1 3 & 0
A transposta A^T será:
A^T = 2 & 1 & 3 3 & 1 & 0

Passo 3

Agora, vamos multiplicar A^T pela matriz B . A multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Aqui, A^T é uma matriz 2 times 3 e B é 3 times 2 , então podemos multiplicá-las, e o resultado será uma matriz 2 times 2 .
Matéria de multiplicação de matrizes: Para multiplicar duas matrizes, o elemento na posição (i,j) da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira matriz com os elementos da coluna j da segunda matriz.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Vamos multiplicar A^T por B :
A^T cdot B = 2 & 1 & 3 3 & 1 & 0 cdot 1 & 1 2 & 2 3 & 4
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1):
(2 times 1) + (1 times 2) + (3 times 3) = 2 + 2 + 9 = 13
  • Elemento (1,2):
(2 times 1) + (1 times 2) + (3 times 4) = 2 + 2 + 12 = 16
  • Elemento (2,1):
(3 times 1) + (1 times 2) + (0 times 3) = 3 + 2 + 0 = 5
  • Elemento (2,2):
(3 times 1) + (1 times 2) + (0 times 4) = 3 + 2 + 0 = 5
Então, a matriz A^T cdot B é:
A^T cdot B = 13 & 16 5 & 5

Passo 5

Agora que temos a matriz A^T cdot B , vamos encontrar o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2 times 2 é calculado assim:
det( a & b c & d ) = a times d - b times c
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A^T cdot B) = (13 times 5) - (16 times 5) = 65 - 80 = -15

Resposta

O determinante da matriz A^T cdot B é igual a -15.

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