Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
onde
isto é
é o espaço vetorial das funções reais contínuas em
;
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pede para verificar se ela satisfaz os axiomas de produto interno: simetria, bilinearidade (linearidade no primeiro argumento) e positividade definida.
Passo 2
Para a simetria, note que para quaisquer
vale
Passo 3
Para a linearidade no primeiro argumento, sejam
e
. Então
Passo 4
Para a positividade, note que para todo
Se
então
. Como
é contínua e
, isso implica
para todo
, logo
. Assim a forma é definida positiva.
Resposta
A aplicação
satisfaz todos os axiomas de produto interno em
, portanto é um produto interno.