Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) cdot g(t) d t onde V=C^0([0,1] ; R) isto é V é o espaço vetorial das funções reais contínuas em [0,1];

Passo 1

O enunciado define em V=C^0([0,1];R) a aplicação
lang<= f,grang<= = integral0^1 f(t),g(t),dt
e pede para verificar se ela satisfaz os axiomas de produto interno: simetria, bilinearidade (linearidade no primeiro argumento) e positividade definida.

Passo 2

Para a simetria, note que para quaisquer f,gin V vale
lang<= f,grang<= = integral0^1 f(t),g(t),dt = integral0^1 g(t),f(t),dt = lang<= g,frang<=

Passo 3

Para a linearidade no primeiro argumento, sejam f,h,gin V e alpha,betainR. Então
lang<= alpha f + beta h,,grang<= = integral0^1 l(alpha f(t)+beta h(t)r),g(t),dt = alphaintegral0^1 f(t),g(t),dt +betaintegral0^1 h(t),g(t),dt = alphalang<= f,grang<= + betalang<= h,grang<=

Passo 4

Para a positividade, note que para todo fin V
lang<= f,frang<= = integral0^1 f(t)^2,dt >= 0
Se lang<= f,frang<==0 então integral0^1f(t)^2,dt=0. Como f é contínua e f(t)^2>=0, isso implica f(t)^2=0 para todo t, logo fequiv0. Assim a forma é definida positiva.

Resposta

A aplicação lang<= f,grang<==integral0^1f(t)g(t),dt satisfaz todos os axiomas de produto interno em C^0([0,1];R), portanto é um produto interno.

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