Questão A equaçāo matricial abaixo representa um sistema linear:
[ccc 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 1 & 2 & -1 ] cdot[l x y z ]=[c 2 5 -3 ]
Ao resolvê-lo, indique a soma das variáveis x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um sistema de equações lineares representado por uma equação matricial. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de x , y e z que satisfazem esse sistema e, por fim, somar esses valores. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara. A equação matricial dada é:
1x + 1y + 1z = 2 2x - 1y + 1z = 5 1x + 2y - 1z = -3
Aqui, cada linha da matriz corresponde a uma equação do sistema.

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação de Gauss, que envolve combinar as equações para eliminar uma variável de cada vez. Isso nos ajuda a simplificar o sistema até encontrar os valores de x , y e z .

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar a variável x das segunda e terceira equações. Para isso, usamos a primeira equação como referência.
Multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda equação para eliminar x :
2(1x + 1y + 1z) &= 2(2) 2x + 2y + 2z &= 4 Segunda equação original: 2x - 1y + 1z &= 5 Subtraindo: (2x - 1y + 1z) - (2x + 2y + 2z) &= 5 - 4 -3y - z &= 1 (Equação 4) çãçã

Passo 5

Agora, eliminamos x da terceira equação. Vamos subtrair a primeira equação da terceira:
1x + 2y - 1z &= -3 - (1x + 1y + 1z &= 2) Subtraindo: (1x + 2y - 1z) - (1x + 1y + 1z) &= -3 - 2 y - 2z &= -5 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas variáveis ([y) e ):
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos isolar (y] na Equação 5:

Passo 7

Substituímos y na Equação 4:
-3(2z - 5) - z = 1 -6z + 15 - z = 1 -7z + 15 = 1 -7z = 1 - 15 -7z = -14 z = 2

Passo 8

Agora que temos z = 2 , substituímos esse valor na expressão que encontramos para y :
y = 2(2) - 5 y = 4 - 5 y = -1

Passo 9

Com y = -1 e z = 2 , usamos a primeira equação original para encontrar x :
x + y + z = 2 x + (-1) + 2 = 2 x + 1 = 2 x = 2 - 1 x = 1

Resposta

A soma das variáveis é x + y + z = 1 + (-1) + 2 = 2 .

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