Questão 7 Uma empresa de consultoria de engenharia de produção, a “Produtividade Máxima”, tem um custo fixo mensal de \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{2 5 . 0 0 0} com aluguel e despesas administrativas. O salário mensal de cada engenheiro consultor é deáé\mathbf{R} $5.000 . O faturamento médio mensal gerado por cada engenheiro é deéé\mathbf{R} \mathbf{$ 8 . 0 0 0} . (a) Qual é a função de custo total, \(C(x)\), para a empresa, considerando \(x\) o número de engenheiros contratados? (b) Qual é a função de receita total, \(R(x)\), gerada pela contratação de \(x\) engenheiros? \text{(c)} Qual é a função de lucro, \(L(x)\), para a empresa, em termos do número \(x\) de engenheiros contratados? (d) Qual é o ponto de equilíbrio (break-even point), ou seja, o número mínimo de engenheiros que a empresa precisa contratar para que o lucro seja zero? (e) A empresa decide investir em treinamentos para os engenheiros, o que aumenta o custo fixo mensal para \(\mathbf{R} \boldsymbol{\\)} \mathbf{3 0 . 0 0 0}\(. No entanto, os treinamentos aumentam a produtividade, elevando o faturamento médio mensal de cada engenheiro para\)\mathbf{R} \boldsymbol{\$} \mathbf{9 . 0 0 0}. Qual é o novo ponto de equilíbrio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e as perguntas que ele faz.
Dados fornecidos:
  • Custo fixo mensal: \text{R}\$25{,}000.
  • Salário mensal de cada engenheiro consultor: \text{R}\$5{,}000 (custo variável por engenheiro).
  • Faturamento médio mensal gerado por cada engenheiro: \text{R}\$8{,}000.
As perguntas:
(a) Qual é a função de custo total C(x), considerando x o número de engenheiros contratados?
(b) Qual é a função de receita total R(x) gerada pela contratação de x engenheiros?
(c) Qual é a função de lucro L(x) em termos de x?
(d) Qual é o ponto de equilíbrio (break-even point), isto é, o número mínimo de engenheiros que a empresa precisa contratar para que o lucro seja zero?
(e) Novo cenário: custo fixo passa a ser \text{R}\$30{,}000 e o faturamento por engenheiro passa a ser \text{R}\$9{,}000. Qual é o novo ponto de equilíbrio?

Passo 2

Entendendo e montando a função de custo total C(x).
Conceito: a função de custo total combina dois tipos de custos:
  • custo fixo: valor que a empresa paga independentemente de quantos engenheiros existam ( \text{R}\$25{,}000);
  • custo variável: depende de x; aqui é o salário de cada engenheiro, \text{R}\$5{,}000 por engenheiro, logo o custo variável total é \text{R}\$5{,}000\cdot x.
Montagem da função: somando fixo e variável obtemos
C(x)=\text{R}\$(25{,}000)+\text{R}\$(5{,}000)\cdot x.
Podemos também escrever agrupando a notação da moeda:
C(x)=\text{R}\$(25{,}000+5{,}000x).
Exemplo rápido para fixar: se x=2, então o custo total é
C(2)=\text{R}\$(25{,}000+5{,}000\cdot 2)=\text{R}\$(25{,}000+10{,}000)=\text{R}\$35{,}000.

Passo 3

Montando a função de receita total R(x).
Conceito: a receita total é o faturamento gerado por cada engenheiro multiplicado pelo número de engenheiros x. Aqui o faturamento médio por engenheiro é \text{R}\$8{,}000.
Logo a função receita é
R(x)=\text{R}\$(8{,}000)\cdot x.
Exemplo: se x=2,
R(2)=\text{R}\$(8{,}000)\cdot 2=\text{R}\$16{,}000.

Passo 4

Definindo e obtendo a função de lucro L(x).
Conceito: lucro é receita menos custo. Matematicamente:
L(x)=R(x)-C(x).
Substituindo as expressões encontradas:
L(x)=\text{R}\!(8{,}000x)-\text{R}\!(25{,}000+5{,}000x).
Fazendo a álgebra (tudo em reais):
L(x)=\text{R}\!(8{,}000x-25{,}000-5{,}000x)=\text{R}\!(3{,}000x-25{,}000).
Interpretação útil (muito importante para prova): a cada engenheiro contratado a empresa ganha uma “margem” de
\text{R}\$(8{,}000-5{,}000)=\text{R}\$3{,}000
por mês, e precisa recuperar o custo fixo de \text{R}\$25{,}000. Por isso L(x)=\text{R}\!(3{,}000x-25{,}000).

Passo 5

Calculando o ponto de equilíbrio no primeiro cenário.
Definição: ponto de equilíbrio (break-even) é o x tal que o lucro é zero, isto é L(x)=0.
Resolvendo a equação
\text{R}\!(3{,}000x-25{,}000)=0
equivale a
3{,}000x-25{,}000=0.
Isolando x:
3{,}000x=25{,}000
x=\frac{25{,}000}{3{,}000}=\frac{25}{3}.
Portanto, no modelo contínuo obtém-se
x=\dfrac{25}{3}\approx 8{,}333\ldots
Interpretação prática: não dá para contratar um terço de engenheiro. Se a pergunta pede o número mínimo inteiro de engenheiros para que o lucro deixe de ser negativo (ou seja, para ter lucro não negativo), deve-se arredondar para cima:
  • Para x=8: L(8)=\text{R}\!(3{,}000\cdot 8-25{,}000)=\text{R}\!(-1{,}000) (prejuízo).
  • Para x=9: L(9)=\text{R}\!(3{,}000\cdot 9-25{,}000)=\text{R}\!2{,}000 (lucro positivo).
Logo, o ponto de equilíbrio exato é x=\dfrac{25}{3}, e o número mínimo inteiro de engenheiros para não ter prejuízo é x=9.

Passo 6

Novo cenário (com treinamentos): calcular o novo ponto de equilíbrio.
Dados novos:
  • Custo fixo: \text{R}\$30{,}000.
  • Salário por engenheiro (custo variável) continua \text{R}\$5{,}000.
  • Faturamento por engenheiro passa a \text{R}\$9{,}000.
Nova função de lucro:
L_{\text{novo}}(x)=\text{R}\!(9{,}000x)-\text{R}\!(30{,}000+5{,}000x)=\text{R}\!(4{,}000x-30{,}000).
Ponto de equilíbrio (resolver L_{\text{novo}}(x)=0):
4{,}000x-30{,}000=0
4{,}000x=30{,}000
x=\frac{30{,}000}{4{,}000}=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}=7{,}5.
Interpretação prática: o ponto exato é x=7{,}5. Como não se pode contratar meio engenheiro, o número mínimo inteiro para não ter prejuízo é o teto:
  • Para x=7: L_{\text{novo}}(7)=\text{R}\!(4{,}000\cdot 7-30{,}000)=\text{R}\!(-2{,}000).
  • Para x=8: L_{\text{novo}}(8)=\text{R}\!(4{,}000\cdot 8-30{,}000)=\text{R}\!2{,}000.
Logo, ponto de equilíbrio exato x=7{,}5 e número mínimo inteiro para não ter prejuízo é x=8.

Passo 7

Recapitulando de forma curta (já visto nos passos anteriores): as fórmulas principais e resultados foram obtidos por separar custo fixo e custo variável, expressar receita como preço por unidade vezes quantidade, e igualar lucro a zero para achar o break-even. Força aí — você já tem a receita para decorar e aplicar em prova!

Resposta

(a) C(x)=\text{R}\!(25{,}000+5{,}000x)
(b) R(x)=\text{R}\!(8{,}000x)
(c) L(x)=\text{R}\!(3{,}000x-25{,}000)
(d) ponto de equilíbrio exato: x=\dfrac{25}{3}\approx 8{,}333\ldots. Número mínimo inteiro para não ter prejuízo: x=9.
(e) novo ponto de equilíbrio exato: x=7{,}5. Número mínimo inteiro para não ter prejuízo: x=8.

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