Questão 7 Uma empresa de consultoria de engenharia de produção, a “Produtividade Máxima”, tem um custo fixo mensal de
} \mathbf{2 5 . 0 0 0}
\mathbf{R} $5.000
\mathbf{R} \mathbf{$ 8 . 0 0 0}
. Qual é o novo ponto de equilíbrio?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e as perguntas que ele faz.
Dados fornecidos:
- Custo fixo mensal:
. - Salário mensal de cada engenheiro consultor:
(custo variável por engenheiro). - Faturamento médio mensal gerado por cada engenheiro:
.
As perguntas:
(a) Qual é a função de custo total , considerando
o número de engenheiros contratados?
(b) Qual é a função de receita total gerada pela contratação de
engenheiros?
(c) Qual é a função de lucro em termos de
?
(d) Qual é o ponto de equilíbrio (break-even point), isto é, o número mínimo de engenheiros que a empresa precisa contratar para que o lucro seja zero?
(e) Novo cenário: custo fixo passa a ser e o faturamento por engenheiro passa a ser
. Qual é o novo ponto de equilíbrio?
(a) Qual é a função de custo total
(b) Qual é a função de receita total
(c) Qual é a função de lucro
(d) Qual é o ponto de equilíbrio (break-even point), isto é, o número mínimo de engenheiros que a empresa precisa contratar para que o lucro seja zero?
(e) Novo cenário: custo fixo passa a ser
Passo 2
Entendendo e montando a função de custo total
.
Conceito: a função de custo total combina dois tipos de custos:
- custo fixo: valor que a empresa paga independentemente de quantos engenheiros existam (
); - custo variável: depende de
; aqui é o salário de cada engenheiro, por engenheiro, logo o custo variável total é .
Montagem da função: somando fixo e variável obtemos
Podemos também escrever agrupando a notação da moeda:
Exemplo rápido para fixar: se
, então o custo total é
Passo 3
Montando a função de receita total
.
Conceito: a receita total é o faturamento gerado por cada engenheiro multiplicado pelo número de engenheiros
. Aqui o faturamento médio por engenheiro é
.
Logo a função receita é
Exemplo: se
,
Passo 4
Definindo e obtendo a função de lucro
.
Conceito: lucro é receita menos custo. Matematicamente:
Substituindo as expressões encontradas:
Fazendo a álgebra (tudo em reais):
Interpretação útil (muito importante para prova): a cada engenheiro contratado a empresa ganha uma “margem” de
por mês, e precisa recuperar o custo fixo de
. Por isso
.
Passo 5
Calculando o ponto de equilíbrio no primeiro cenário.
Definição: ponto de equilíbrio (break-even) é o
tal que o lucro é zero, isto é
.
Resolvendo a equação
equivale a
Isolando
:
Portanto, no modelo contínuo obtém-se
Interpretação prática: não dá para contratar um terço de engenheiro. Se a pergunta pede o número mínimo inteiro de engenheiros para que o lucro deixe de ser negativo (ou seja, para ter lucro não negativo), deve-se arredondar para cima:
- Para
: (prejuízo). - Para
: (lucro positivo).
Logo, o ponto de equilíbrio exato é
, e o número mínimo inteiro de engenheiros para não ter prejuízo é
.
Passo 6
Novo cenário (com treinamentos): calcular o novo ponto de equilíbrio.
Dados novos:
- Custo fixo:
. - Salário por engenheiro (custo variável) continua
. - Faturamento por engenheiro passa a
.
Nova função de lucro:
Ponto de equilíbrio (resolver
):
Interpretação prática: o ponto exato é
. Como não se pode contratar meio engenheiro, o número mínimo inteiro para não ter prejuízo é o teto:
- Para
: . - Para
: .
Logo, ponto de equilíbrio exato
e número mínimo inteiro para não ter prejuízo é
.
Passo 7
Recapitulando de forma curta (já visto nos passos anteriores): as fórmulas principais e resultados foram obtidos por separar custo fixo e custo variável, expressar receita como preço por unidade vezes quantidade, e igualar lucro a zero para achar o break-even. Força aí — você já tem a receita para decorar e aplicar em prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) ponto de equilíbrio exato: . Número mínimo inteiro para não ter prejuízo:
.
(e) novo ponto de equilíbrio exato: . Número mínimo inteiro para não ter prejuízo:
.
(b)
(c)
(d) ponto de equilíbrio exato:
(e) novo ponto de equilíbrio exato: