Questão 6 Uma fábrica de parafusos tem um custo fixo mensal de \mathbf{R \ 1 0 . 0 0 0} (incluindo aluguel e salários) e um custo variável deáá\mathbf{R $0 , 5 0} por parafuso produzido. O preço de venda de cada parafuso é deçé\mathbf{R} \mathbf{$ 1 , 5 0} . (a) Qual é a função de custo total, \(C(x)\), para produzir \(x\) parafusos? (b) Qual é a função de receita total, \(R(x)\), gerada pela venda de \(x\) parafusos? \text{(c)} Qual é a função de lucro, \(L(x)\), para a fábrica de parafusos, em termos do número \(x\) de parafusos produzidos e vendidos, com base nas funções de custo e receita? (d) Qual é o ponto de equilíbrio (break-even point), ou seja, o número de parafusos que a fábrica precisa produzir e vender para que o lucro seja zero? (e) A fábrica decide investir em um novo equipamento que reduz o custo variável por parafuso para \(\mathbf{R} \boldsymbol{\\)} \mathbf{0 , 3 0}\(. No entanto, esse investimento aumenta o custo fixo mensal para\)\mathbf{R} \boldsymbol{\$} \mathbf{1 2 . 0 0 0}. Qual é o novo ponto de equilíbrio?
Resposta: (a) C(x)=0,50 x+10000 (b) R(x)=1,50 x (c) L(x)=R(x)-C(x)=x-10000 (d) 10000 parafusos (e) 10000 parafusos

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo foi retirado do enunciado):
  • Custo fixo mensal: R\$\,10\,000.
  • Custo variável por parafuso: R\$\,0,50 por unidade.
  • Preço de venda por parafuso: R\$\,1,50 por unidade.
O enunciado pede:
(a) montar a função de custo total C(x) em função da quantidade x de parafusos produzidos;
(b) montar a função de receita total R(x) em função de x;
(c) montar a função de lucro L(x) em função de x usando C(x) e R(x);
(d) encontrar o ponto de equilíbrio (valor de x tal que o lucro é zero);
(e) repetir (d) no novo cenário: custo variável R\$\,0,30 e custo fixo R\$\,12\,000.

Passo 2

Conceito e construção da função de custo total.
  • Explicação didática: o custo total de produção costuma ser escrito como soma do custo fixo (gastos que não dependem da quantidade) com o custo variável (gastos proporcionais à quantidade). Ou seja,
C(x)=\text{custo fixo}+\text{(custo variável por unidade)}\times x.á
  • Aqui a substituição é direta: custo fixo = R\$\,10\,000 e custo variável por unidade = R\$\,0,50. Portanto
C(x)=0,50x+10\,000.
  • Interpretação: se produzir x parafusos, paga-se sempre R\$\,10\,000 mais R\$\,0,50 para cada parafuso.

Passo 3

Conceito e construção da função de receita total.
  • Explicação didática: receita total é preço de venda por unidade multiplicado pela quantidade vendida. Em símbolos,
R(x)=\text{preço por unidade}\times x.ç
  • Substituindo o preço R\$\,1,50:
R(x)=1,50x.
  • Interpretação: vendendo x parafusos à R\$\,1,50 cada, a fábrica recebe R\$\,1,50x.

Passo 4

Conceito e construção da função de lucro.
  • Explicação didática: lucro é o que sobra da receita depois de pagar todos os custos, isto é,
L(x)=R(x)-C(x).
  • Agora substituímos as funções já obtidas:
L(x)=1,50x-\bigl(0,50x+10\,000\bigr).
  • Desenvolvendo passo a passo (mostrando cada operação, para fazer na prova sem erro):
L(x)=1,50x-0,50x-10\,000,
L(x)=1,00x-10\,000.
  • Observação prática: pode-se escrever também L(x)=x-10\,000 (mesmo valor numérico), mas ao deixar o coeficiente 1,00 fica claro que a unidade é reais por parafuso.

Passo 5

Cálculo do ponto de equilíbrio no cenário inicial.
  • Definição: ponto de equilíbrio é a quantidade x tal que o lucro é zero, ou seja L(x)=0.
  • Usando a expressão do lucro:
1,00x-10\,000=0.
  • Resolvendo a equação passo a passo:
1,00x=10\,000,
x=\frac{10\,000}{1,00}=10\,000.
  • Interpretação: a fábrica precisa produzir e vender 10\,000 parafusos no mês para que não haja lucro nem prejuízo.

Passo 6

Novo cenário (investimento): custo variável reduzido para R\$\,0,30 e custo fixo sobe para R\$\,12\,000. Montagem das novas funções e ponto de equilíbrio.
  • Novo custo total:
C_{\text{novo}}(x)=0,30x+12\,000.
  • A receita continua a mesma:
R(x)=1,50x.
  • Novo lucro:
L_{\text{novo}}(x)=1,50x-\bigl(0,30x+12\,000\bigr)=1,50x-0,30x-12\,000=1,20x-12\,000.
  • Ponto de equilíbrio novo: resolver L_{\text{novo}}(x)=0:
1,20x-12\,000=0,
1,20x=12\,000,
x=\frac{12\,000}{1,20}=10\,000.
  • Interpretação intuitiva: a economia por unidade foi de R\$\,0,20 (uma queda de 0,50 para 0,30 é 0,20 de economia), e o aumento do custo fixo foi R\$\,2\,000. O número de unidades necessário para compensar R\$\,2\,000 com R\$\,0,20 de economia por unidade é 2\,000/0,20=10\,000, por isso o ponto de equilíbrio não se alterou.

Resposta

(a) C(x)=0,50x+10\,000
(b) R(x)=1,50x
(c) L(x)=1,00x-10\,000
(d) x=10\,000 parafusos
(e) x=10\,000 parafusos

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