Questão 3(1,5) - Uma empresa de Engenharia de Produção está avaliando a consistência no processo de fabricação de blocos de concreto utilizados na construção civil. Para garantir a segurança estrutural, é essencial que o peso dos blocos esteja dentro de um padrão aceitável, pois variações excessivas podem comprometer tanto o transporte quanto a resistência mecânica das estruturas. Foi realizada uma amostragem de 50 blocos produzidos durante um turno, obtendo-se uma média de peso de 10,2 \mathrm{~kg} e desvio padrão amostral de 0,5 \mathrm{~kg}.
a) Construa o intervalo de confiança para a média do peso dos blocos com 90 \% de confiança.
b) Refaça o cálculo para um nível de 95 \% de confiança. Compare os dois intervalos.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=50 blocos com média \overline{x}=10,2\:\mathrm{kg} e desvio padrão amostral s=0,5\:\mathrm{kg}. Como a variância populacional é desconhecida, vamos usar o intervalo de confiança para a média baseado na distribuição t de Student com df=n-1=49.

Passo 2

Para o nível de confiança de 90\% temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O valor crítico é
t_{0,95;49}\approx1,677.
A margem de erro é
\mathrm{ME}_{90\%} = t_{0,95;49}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =1,677\cdot\frac{0,5}{\sqrt{50}} \approx0,119\:\mathrm{kg}.
Logo o intervalo de 90\% é
\bigl[\overline{x}-\mathrm{ME}_{90\%}\;;\;\overline{x}+\mathrm{ME}_{90\%}\bigr] =[10,2-0,119\;;\;10,2+0,119] =[10,081\;;\;10,319]\:\mathrm{kg}.

Passo 3

Para o nível de confiança de 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O valor crítico é
t_{0,975;49}\approx2,009.
A margem de erro é
\mathrm{ME}_{95\%} =2,009\cdot\frac{0,5}{\sqrt{50}} \approx0,142\:\mathrm{kg}.
Logo o intervalo de 95\% é
[10,2-0,142\;;\;10,2+0,142] =[10,058\;;\;10,342]\:\mathrm{kg}.

Passo 4

Comparando, o intervalo de 95\% é mais amplo 10,058 a 10,342 que o de 90\% 10,081 a 10,319, pois aumentar o nível de confiança exige maior margem de erro.

Resposta

a) Intervalo de 90\%: [10,081\;;\;10,319]\:\mathrm{kg}
b) Intervalo de 95\%: [10,058\;;\;10,342]\:\mathrm{kg}
O intervalo de 95\% é mais largo do que o de 90\%.

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