Questão 4(1,5) - Uma indústria de manufatura eletrônica está avaliando a estabilidade de sensores de temperatura utilizados em processos críticos. A variabilidade nas leituras dos sensores pode comprometer o controle térmico da linha de produção. Para investigar essa questão, foi realizada uma amostra de 16 sensores, resultando em uma variância amostral de 4,5 unidades { }^{2}. Calcule um intervalo com 95 \% de confiança, garantindo que a variabilidade real do processo não esteja abaixo de um patamar considerado operacionalmente seguro. Teste a hipótese de que a variância é diferente da variância usual, que é 6,2 unidades { }^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=16 sensores com variância amostral s^2=4,5 unidades ^2. Precisamos (1) construir um intervalo de confiança de 95\% para a variância verdadeira \sigma^2 e (2) testar a hipótese
H_0:\sigma^2=6,2 \quad\text{vs.}\quad H_1:\sigma^2\neq6,2
ao nível de significância \alpha=0,05.

Passo 2

Para o intervalo de confiança bilateral de nível 1-\alpha para \sigma^2 usa-se a estatística qui-quadrado com n-1 graus de liberdade:
\frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\;n-1}} \;\le\; \sigma^2 \;\le\; \frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\;n-1}}
Aqui n-1=15 e \alpha/2=0,025.

Passo 3

Das tabelas de \chi^2 com 15 graus de liberdade:
\chi^2_{0,975,15}=6,262 \quad\text{e}\quad \chi^2_{0,025,15}=27,488.

Passo 4

Calculando os limites do intervalo:
\text{limite inferior} =\frac{15\cdot4,5}{27,488} \approx 2,456, \quad \text{limite superior} =\frac{15\cdot4,5}{6,262} \approx 10,78.

Passo 5

O intervalo de confiança de 95\% para \sigma^2 é aproximadamente
(2,456,\;10,78).

Passo 6

No teste de hipótese, a estatística é
\chi^2 =\frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2} =\frac{15\cdot4,5}{6,2} \approx 10,887.
Como
6,262=\chi^2_{0,975,15} < 10,887 < \chi^2_{0,025,15}=27,488,
o valor observado está dentro da região de aceitação de H_0. Não rejeitamos H_0, isto é, não há evidência significativa de que a variância difira de 6,2 unidades ^2.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para \sigma^2 é aproximadamente (2,456;10,78). No teste bilateral, \chi^2\approx10,887 fica entre os valores críticos 6,262 e 27,488, logo não rejeitamos H_0.

Exercícios relacionados