Questão 2(1,0) - Uma fábrica produz barras de aço com comprimento médio de 120 cm e desvio padrão de 2 cm . Considerando uma amostra aleatória de 64 barras, calcule a probabilidade de a média amostral estar entre 119,5 \mathrm{~cm} e 120,5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá uma população de barras de aço com média \mu=120 cm e desvio padrão \sigma=2 cm. Como vamos tirar uma amostra de tamanho n=64, o que precisamos é da distribuição da média amostral \bar X para calcular
P\bigl(119{,}5 \le \bar X \le 120{,}5\bigr).

Passo 2

Pela propriedade da normal (ou pelo Teorema do Limite Central), a média amostral satisfaz
\bar X \sim \mathcal{N}\!\bigl(\mu,\;\sigma^2/n\bigr) =\mathcal{N}\!\bigl(120,\;(2/\sqrt{64})^2\bigr) =\mathcal{N}\!\bigl(120,\;0{,}25^2\bigr).

Passo 3

Para usar a tabela da normal padrão, padronizamos \bar X assim:
P\bigl(119{,}5 \le \bar X \le 120{,}5\bigr) = P\Bigl(\frac{\bar X-120}{0{,}25}\in \bigl[\tfrac{119{,}5-120}{0{,}25},\,\tfrac{120{,}5-120}{0{,}25}\bigr]\Bigr) = P(-2 \le Z \le 2),
onde Z\sim\mathcal{N}(0,1).

Passo 4

Na tabela da normal padrão temos \Phi(2)\approx0{,}97725 e \Phi(-2)=1-\Phi(2)\approx0{,}02275. Então
P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}97725 - 0{,}02275 = 0{,}95450.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}9545 (ou 95{,}45\%).

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