Temos o seguinte resultado:
Teorema da representação por série de Fourier: Seja
uma função suave por partes de período
. Para todo
:
com
e
- se
não é contínua em
, então
Exemplo: Dada
com
f(x+2 pi)=f(x), calcule a série de Fourier de
f, e indique os valores assumidos por tal série.
Solução: Sendo
f uma função periódica de período
2 pi e suave por partes, podemos usar o teorema para calcular os coeficientes da série de Fourier, obtendo (aqui
T=pi ):
a0=1pi integral-pi^pi f(x) d x=integral-pi^0 0 d x+integral0^pi 1 d x=1 an=1pi f(x) cos (n pi xpi) d x=1pi integral0^pi cos (n x) d x=0 bn=1pi integral-pi^pi f(x) sen(n pi xpi) d x=1pi integral sen(n x) d x=1n pi cos (n x)|0 ^pi=1n pi(1-cos (n pi))
Dai,
-se
n é par,
cos (n pi)=1, donde
bn=0. E se
n é ímpar,
cos (n pi)=-1 e
bn=2n pi. Disto, a série de Fourier de
f é dada por
12+sumn=1^infty 2(2 n-1) pi sen((2 n-1) x)
Como
f(x) não é contínua em
m pi, para
m in Z, temos:
12+sumn=1^infty 2(2 n-1) pi sen((2 n-1) x)=f(x)
12+sumn=1^infty 2(2 n-1) pi sen((2 n-1) x)=lim t x^+ f(t)+lim t x^- f(t)2=12
Expansão a meia escala
É usada para estender uma função
f definida em um intervalo aberto finito à uma função definida em
R periódica, de tal modo que seja possível definir uma série de Fourier para
f. Vajamos duas extensões possíveis:
Dada
f(x) definida no intervalo
[0, T[,
a) a função
g(x)=cc f(x), 0 <= x<T f(-x), & -T <= x<0
com
g(x+2 T)=g(x) é uma expansão de
f à uma função par, que origina a série de Fourier de cossenos de
f
a02+sumn=1^infty an cos (n pi xT)(0 <= x<T)
com a0=2T integral0^T f(x) d x, an=2T integral0^T f(x) cos (n pi xT)(n >= 1);
b) a função
h(x)=cc f(x), & 0 <= x<T -f(-x), & -T <= x<0
com
h(x+2 T)=h(x) é uma expansão de
f à uma função ímpar que origina a série de Fourier de senos de
f
sumn=1^infty bn sen(n pi xT)(0 <= x<T)
com bn=2T integral0^T f(x) sen(n pi xT) d x.
Exemplo: Considere a função
f(x)=sen(x), 0 <= x<pi. Sua expansão par é a função
g(x)=cc sen(x), & 0 <= x<pi sen(-x), & -pi <= x<0
com
g(x+2 pi)=g(x) nos dará a série de Fourier em cossenos cujos escalares serão
a0=2pi integral0^pi sen(x) d x=[-2pi cos (x)]0^pi=4pi
an=2pi integral0^pi sen(x) cos (n pi xpi) d x=1pi integral0^pi[sen((n+1) x)+sen((1-n) x)] d x =-1pi[cos ((n+1) x)n+1+cos ((1-n) x)1-n]0^pi= =-1pi[cos ((n+1) pi)n+1+cos ((1-n) pi)1-n-1n+1-11-n]
Isto para
n neq 1 (faça o caso
n=1 ). Neste caso, para
n par,
n+1 e
1-n é ímpar, donde
cos ((n+1) pi)=-1=cos ((1-n) pi), e cos ((n+1) pi)n+1+cos ((1-n) pi)1-n-1n+1-11-n=-1n+1-11-n-1n+1-11-n=
-4n^2-1.
Já para
n ímpar,
n+1 e
1-n é par, donde
cos ((n+1) pi)=1=cos ((1-n) pi), e portanto o valor da integral será igual a 0 .
Sendo assim, temos
f(x)=2pi-4pi sumn=1^infty 1(2 n^2)-1 cos (2 n x)(0 <= x<pi)