Resolva o problema de valor inicial
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0 ; y(1)=1, y^prime(1)=1

Passo 1

O exercício pede para resolver o problema de valor inicial
Temos a EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''-4y'+4y=0,
com condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=1. Vamos usar a equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à EDO. Em geral, para
y''-4y'+4y=0
assumimos y=e^rx e obtemos
r^2-4r+4=0
Resolvendo, vemos que é uma raiz dupla:
(r-2)^2=0Rightarrow r=2 (mu<iplicidade 2)
Logo, a solução geral é
y(x)=C1e^2x+C2x e^2x

Passo 3

Agora precisamos da derivada y'(x) para usar y'(1)=1. Diferenciando:
y'(x)=2C1e^2x+C2e^2x+2C2x e^2x=(2C1+C2)e^2x+2C2x e^2x

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais em x=1:
Para y(1)=1 temos:
y(1)=C1e^2+C2e^2=e^2(C1+C2)=1
que dá
C1+C2=e^-2
Para y'(1)=1 temos:
y'(1)=(2C1+C2)e^2+2C2e^2=e^2(2C1+3C2)=1
que dá
2C1+3C2=e^-2

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1+C2=e^-2,2C1+3C2=e^-2,
subtraindo 2 vezes a primeira equação da segunda, obtemos
2C1+3C2-2(C1+C2)=-e^-2Rightarrow C2=-e^-2
Então
C1=e^-2-C2=2e^-2

Passo 6

Substituindo as constantes na solução geral, temos
y(x)=2e^-2e^2x-e^-2x e^2x=e^2x-2(2-x)
Podemos reescrever de forma mais clara como
y(x)=(2-x)e^2(x-1)

Resposta

y(x)=(2-x)e^2(x-1)

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