Questão 5 - Encontre a carga no capacitor em um circuito em série RLC no instante t=0,01 segundo quando L=0,05 henry, R=20 ohms, C=0,01 farad, E(t)=0, Q(0)=5 coulombs e I(0)=0 ampère.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um circuito RLC série sem força externa (
E(t)=0
) com
L=0,05 H, R=20, \Omega, C=0,01,F, carga inicial Q(0)=5 C e corrente inicial I(0)=0 A.
O que buscamos é a carga Q(t) no instante t=0,01 s, usando a equação diferencial de segunda ordem típica de circuitos RLC.

Passo 2

A equação diferencial geral para a carga Q(t) é
L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}\,Q=E(t).
Como E(t)=0, ao substituir L=0,05, R=20 e C=0,01 ficamos com
0.05\,Q'' + 20\,Q' + 100\,Q = 0.

Passo 3

Associamos a esta ODE a equação característica
0.05\,r^2 + 20\,r + 100 = 0.
Dividindo tudo por 0.05, vem
r^2 + 400\,r + 2000 = 0.
O discriminante é
\Delta = 400^2 - 4\cdot2000 = 152000 e
\sqrt{\Delta} = 40\sqrt{95}.
Logo as raízes são
r = \frac{-400 \pm 40\sqrt{95}}{2} = -200 \pm 20\sqrt{95}.

Passo 4

Como as raízes
r_1 = -200 + 20\sqrt{95},\quad r_2 = -200 - 20\sqrt{95}
são reais e distintas, a solução geral é
Q(t) = A\,e^{r_1 t} + B\,e^{r_2 t}.
Aplicando as condições iniciais Q(0)=5 e Q'(0)=I(0)=0, obtemos o sistema
A + B = 5,
A\,r_1 + B\,r_2 = 0.
Resolvendo para A e B, achamos
A = \frac{-5\,r_2}{r_1 - r_2},\quad B = 5 - A
e, em valores numéricos,
A \approx 5{,}0658,\quad B \approx -0{,}0658.

Passo 5

Finalmente, calculamos
Q(0{,}01) = A\,e^{r_1\cdot0{,}01} + B\,e^{r_2\cdot0{,}01} \approx 5{,}0658\,e^{-0{,}0506} \;+\; (-0{,}0658)\,e^{-3{,}9494} \approx 4{,}813.

Resposta

A carga no capacitor em t=0{,}01 s é aproximadamente 4{,}813 C.

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