Questão 3 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=52 \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6y = 52 \cos(2t)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois achar uma solução particular para o termo forçante 52\cos(2t).

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y' - 6y = 0,
cuja equação característica é
r^2 + r - 6 = 0.
Resolvendo:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2},
logo r_1 = 2 e r_2 = -3. Assim a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}.

Passo 3

Para o termo forçante 52\cos(2t), propomos uma solução particular do tipo
y_p(t) = A \cos(2t) + B \sin(2t),
pois \cos(2t) e \sin(2t) são as funções que geram esse forçamento e não há ressonância com as raízes reais 2 e -3.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(t) = -2A \sin(2t) + 2B \cos(2t),
y_p''(t) = -4A \cos(2t) -4B \sin(2t).
Substituindo em y'' + y' -6y:
y_p'' + y_p' -6y_p = \bigl(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)\bigr) +\bigl(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\bigr) -6\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
Agrupando coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
\bigl(-4A + 2B -6A\bigr)\cos(2t) + \bigl(-4B -2A -6B\bigr)\sin(2t) = (-10A +2B)\cos(2t) +(-2A -10B)\sin(2t).
Isso deve ser igual a 52\cos(2t) + 0\sin(2t), gerando o sistema
\begin{cases} -10A + 2B = 52,\\\\ -2A -10B = 0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem -2A = 10B, ou seja A = -5B. Substituindo na primeira:
-10(-5B) + 2B = 52 \quad\Longrightarrow\quad 50B +2B = 52 \quad\Longrightarrow\quad 52B = 52 \quad\Longrightarrow\quad B = 1,
logo A = -5. Assim a solução particular é
y_p(t) = -5\cos(2t) + \sin(2t).

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} -5\cos(2t) + \sin(2t).

Resposta

y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} -5\cos(2t) + \sin(2t).

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