Questão 3 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=3 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes usando método dos coeficientes indeterminados:
y'' -5y' +4y = 3e^{x}.
Vamos precisar primeiro achar a solução homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^2 -5r +4 = 0
que tem raízes
r = 1 \quad\text{e}\quad r = 4.
Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{4x}.

Passo 3

Buscamos uma solução particular do tipo y_p = A x e^{x}, pois e^{x} já está na homogênea. Calculamos:
y_p' = A(1+x)e^{x}, \quad y_p'' = A(2+x)e^{x}.
Substituindo na equação original:
y_p'' -5y_p' +4y_p = A e^{x}\bigl[(2+x) -5(1+x) +4x\bigr] = -3A e^{x}.
Para igualar a 3e^{x}, impomos -3A e^{x}=3e^{x}, daí
A = -1.
Assim
y_p(x) = -x e^{x}.

Passo 4

A solução geral da equação é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{4x} - x e^{x}.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{4x} - x e^{x}.

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