Sejam . Em cada um dos itens a seguir, considere a função definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre , com base nas hipóteses dadas sobre e .
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções e um ponto de acumulação tais que
e define-se
O conteúdo aqui é o estudo de limites de quocientes envolvendo a forma indeterminada .
Passo 2
Como , existe tal que para . Logo, na vizinhança pontuada de , a função
está bem definida.
Passo 3
O limite
é da forma , que é uma forma indeterminada. Isso significa que, sem informações adicionais sobre como e crescem, não podemos deduzir o valor desse limite apenas a partir dos limites separados de e .
Passo 4
Para ilustrar essa indeterminação, considere, por exemplo, e o modelo (que diverge para quando ). Escolhendo de modos diferentes, obtemos comportamentos distintos de :
Se , então e
logo .
Se , então
logo .
Se , então
Se f(x)=l(1+sin(1/x^2)r),g(x), então f(x)to+infty (pois o fator oscilante está entre 0 e 2) e
h(x)=1+sinl(1/x^2r)
oscila entre 0 e 2 sem ter limite.
Passo 5
Esses exemplos mostram que, na forma indeterminada infty/infty, o limite de h(x)=f(x)/g(x) pode ser qualquer número real não negativo, +infty ou mesmo não existir. Portanto, sem hipóteses adicionais (por exemplo, relação de ordem assintótica entre f e g), não é possível afirmar qual é o comportamento de limxto x0h(x).
Resposta
Sem informações extras, o limite limxto x0f(x)g(x) é indeterminado: pode convergir a qualquer valor em [0,+infty] ou não existir.