Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=lim x x0 g(x)=+infty, h(x)=f(x)g(x)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f, g:DsubsetRtoR e um ponto de acumulação x0in D' tais que
limxto x0f(x)=+infty e limxto x0g(x)=+infty,
e define-se
h(x)=f(x)g(x)
O conteúdo aqui é o estudo de limites de quocientes envolvendo a forma indeterminada infty/infty.

Passo 2

Como limxto x0g(x)=+infty, existe de<a>0 tal que g(x)neq 0 para 0<|x-x0|<de<a. Logo, na vizinhança pontuada de x0, a função
h(x)=f(x)g(x)
está bem definida.

Passo 3

O limite
limxto x0h(x) = limxto x0f(x)g(x)
é da forma infty/infty, que é uma forma indeterminada. Isso significa que, sem informações adicionais sobre como f e g crescem, não podemos deduzir o valor desse limite apenas a partir dos limites separados de f e g.

Passo 4

Para ilustrar essa indeterminação, considere, por exemplo, x0=0 e o modelo g(x)=1/x^2 (que diverge para +infty quando xto0). Escolhendo f de modos diferentes, obtemos comportamentos distintos de h:
  1. Se f(x)=g(x), então fto+infty e
    h(x)=g(x)g(x)=1,
    logo limxto0h(x)=1.
  2. Se f(x)=2,g(x), então
    h(x)=2,g(x)g(x)=2,
    logo limxto0h(x)=2.
  3. Se f(x)=raizg(x)=1/|x|, então
    h(x)=1/|x|1/x^2=|x| xrightarrow[xto0] 0
  4. Se f(x)=l(1+sin(1/x^2)r),g(x), então f(x)to+infty (pois o fator oscilante está entre 0 e 2) e
    h(x)=1+sinl(1/x^2r)
    oscila entre 0 e 2 sem ter limite.

Passo 5

Esses exemplos mostram que, na forma indeterminada infty/infty, o limite de h(x)=f(x)/g(x) pode ser qualquer número real não negativo, +infty ou mesmo não existir. Portanto, sem hipóteses adicionais (por exemplo, relação de ordem assintótica entre f e g), não é possível afirmar qual é o comportamento de limxto x0h(x).

Resposta

Sem informações extras, o limite limxto x0f(x)g(x) é indeterminado: pode convergir a qualquer valor em [0,+infty] ou não existir.

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