Sejam
. Em cada um dos itens a seguir, considere a função
definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre
, com base nas hipóteses dadas sobre
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções
e
definidas em
e um ponto de acumulação
. Sabemos que
e queremos estudar a função
quando
. O conteúdo principal aqui é a definição de limite sendo
e a propriedade do produto de funções que divergem para
.
Passo 2
Lembrando a definição de limite para
:
significa que, para todo
, existe
tal que, se
, então
De modo análogo, como
, para todo
existe
tal que, se
, então
Passo 3
Para mostrar que
também tende a
, tomamos um
qualquer e vamos encontrar
tal que, para
, tenha-se
Escolhemos
. Então, pela definição de limite para
, existe
tal que
sempre que
. Do mesmo modo, existe
garantindo
sempre que
. Basta tomar
Logo, se
temos simultaneamente
e
, e portanto
Passo 4
Como mostramos que, para todo
, existe
tal que
sempre que
, concluímos pela definição que