Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=lim x x0 g(x)=+infty, h(x)=f(x) cdot g(x)

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções f e g definidas em DsubsetR e um ponto de acumulação x0in D'. Sabemos que
limxto x0f(x)=+infty e limxto x0g(x)=+infty
e queremos estudar a função
h(x)=f(x)cdot g(x)
quando xto x0. O conteúdo principal aqui é a definição de limite sendo +infty e a propriedade do produto de funções que divergem para +infty.

Passo 2

Lembrando a definição de limite para +infty:
limxto x0f(x)=+infty significa que, para todo N>0, existe de<a1>0 tal que, se 0<|x-x0|<de<a1, então
f(x)>N
De modo análogo, como limxto x0g(x)=+infty, para todo N>0 existe de<a2>0 tal que, se 0<|x-x0|<de<a2, então
g(x)>N

Passo 3

Para mostrar que h(x)=f(x),g(x) também tende a +infty, tomamos um M>0 qualquer e vamos encontrar de<a>0 tal que, para 0<|x-x0|<de<a, tenha-se
f(x),g(x)>M
Escolhemos N=raizM. Então, pela definição de limite para f, existe de<a1 tal que f(x)>raizM sempre que 0<|x-x0|<de<a1. Do mesmo modo, existe de<a2 garantindo g(x)>raizM sempre que 0<|x-x0|<de<a2. Basta tomar
de<a=minde<a1,de<a2
Logo, se 0<|x-x0|<de<a temos simultaneamente f(x)>raizM e g(x)>raizM, e portanto
h(x)=f(x),g(x)>raizM,raizM=M

Passo 4

Como mostramos que, para todo M>0, existe de<a>0 tal que h(x)>M sempre que 0<|x-x0|<de<a, concluímos pela definição que
limxto x0h(x)=+infty

Resposta

limxto x0 l(f(x),g(x)r) = +infty

Exercícios relacionados