Questão 1. Encontre a solução geral das EDLH dadas abaixo.
\qquad y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 2y = 0.
O método é montar a equação característica, resolver suas raízes e, a partir delas, construir a solução geral.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y=e^{rx} e obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 2 = 0.
O discriminante é
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot2 = 4 - 8 = -4,
ou seja, \Delta<0 e teremos raízes complexas conjugadas.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara para r^2+2r+2=0, vem
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.
Logo, escrevemos \alpha = -1 e \beta = 1.

Passo 4

Quando as raízes são r = \alpha \pm i\beta, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha=-1 e \beta=1, obtemos
y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

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