Questão 4.1)
Encontre a solução geral da edo dada:
Encontre a solução geral da edo dada:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
Isso é uma equação na forma
. O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante. Vamos precisar (i) verificar se é exata; (ii) encontrar um fator integrante em função de
; (iii) resolver a equação exata obtida.
Passo 2
Identifico
Calculo
como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Busco um fator integrante
. A condição de exatidão exige
Substituindo
e a diferença das derivadas, obtém-se
Cancelando
(assumindo
), vem
Passo 4
Multiplico a EDO original por
. Fica
Agora verifico
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuro
tal que
Integro em
:
Em seguida, imponho
para achar
, ou seja
.
Passo 6
A solução implícita vem de
, portanto
Multiplicando por 2 e renomeando constante, obtemos a forma mais simpática
ou ainda