Questão 4.1)
Encontre a solução geral da edo dada:
(3 x^4 y+x^3 y^2)+(x^5+x^4 y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
(3x^4y + x^3y^2) + (x^5 + x^4y),y' = 0
Isso é uma equação na forma M(x,y)+N(x,y),y'=0. O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante. Vamos precisar (i) verificar se é exata; (ii) encontrar um fator integrante em função de x; (iii) resolver a equação exata obtida.

Passo 2

Identifico
M(x,y)=3x^4y + x^3y^2, N(x,y)=x^5 + x^4y
Calculo
partial Mpartial y =3x^4+2x^3y, partial Npartial x =5x^4+4x^3y,
como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Busco um fator integrante mu(x). A condição de exatidão exige
dmudx,N + mu,partial Npartial x ;=;mu,partial Mpartial y
Substituindo N=x^4(x+y) e a diferença das derivadas, obtém-se
mu',x^4(x+y) = mul(3x^4+2x^3y -5x^4-4x^3yr) = -2mu,x^3(x+y)
Cancelando x+y (assumindo x+yneq0), vem
mu'mu = -2x Longrightarrow mu(x)=x^-2

Passo 4

Multiplico a EDO original por x^-2. Fica
M^*(x,y)=x^-2(3x^4y + x^3y^2) = 3x^2y + xy^2,
N^*(x,y)=x^-2(x^5 + x^4y) = x^3 + x^2y
Agora verifico
partial M^*partial y=3x^2+2xy, partial N^*partial x=3x^2+2xy,
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuro Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^*(x,y) =3x^2y + x y^2
Integro em x:
Psi(x,y)=integral(3x^2y + x y^2),dx = y,x^3 + y^2,x^22 + h(y)
Em seguida, imponho
partial Psipartial y = x^3 + x^2y + h'(y) ;=; N^*(x,y)=x^3+x^2y
para achar h'(y)=0, ou seja h(y)=constante.

Passo 6

A solução implícita vem de Psi(x,y)=C, portanto
x^3y + x^2y^22 = C
Multiplicando por 2 e renomeando constante, obtemos a forma mais simpática
2x^3y + x^2y^2 = K,
ou ainda
x^2y,(2x+y)=K

Resposta

x^2y,(2x+y)=C, com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados