Questão 4.2)
Mostre que a edo (5 x^2+y^4+2)-x y^3 y^prime=0 não é exata, e calcule seu fator integrante.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(5x^2+y^4+2r),dx - x,y^3,dy = 0,
ou seja, M(x,y)=5x^2+y^4+2 e N(x,y)=-x,y^3. O conteúdo é EDO exata e fator integrante.

Passo 2

Verificamos se é exata calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y =4,y^3, partial Npartial x =-y^3
Como 4y^3neq -y^3, a EDO não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu que dependa só de x. A fórmula é
1mudmudx =partial M/partial y-partial N/partial xN =4y^3-(-y^3)-x,y^3 =5y^3-x,y^3 =-5x
Integramos em x:
lnmu(x)=integral -5x,dx=-5ln|x| Longrightarrow mu(x)=x^-5

Resposta

O fator integrante é mu(x)=x^-5.

Exercícios relacionados