Resolva as EDO’s abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é
. A matéria envolvida aqui é EDO de primeira ordem e vamos precisar entender sobre equações exatas e fatores integrantes para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham
e
na equação. Temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator depende de
, ou seja,
.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a condição:
Após simplificações, descobrimos que o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 7
Agora, a equação multiplicada por
é exata. Podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Como
não depende de
, isso implica que
. Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: