Resolva as EDO’s abaixo:
(x^2+y^2) d x-x y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é (x^2+y^2) dx - x y dy = 0. A matéria envolvida aqui é EDO de primeira ordem e vamos precisar entender sobre equações exatas e fatores integrantes para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham dx e dy na equação. Temos:
M(x, y) = x^2 + y^2
N(x, y) = -x y

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular:
partial Mpartial y = 2y
partial Npartial x = -y
Como 2y neq -y, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator que dependa apenas de x ou apenas de y. Vamos supor que o fator depende de x, ou seja, mu(x).

Passo 5

Para encontrar mu(x), usamos a condição:
partial (mu M)partial y - partial (mu N)partial xmu N = ddx(ln mu)
Após simplificações, descobrimos que o fator integrante é:
mu(x) = e^integral 3yx y dx = e^integral 3x dx = x^3

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = x^3:
x^3(x^2 + y^2) dx - x^4 y dy = 0

Passo 7

Agora, a equação multiplicada por mu(x) é exata. Podemos encontrar uma função potencial F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = x^3(x^2 + y^2)
Integrando em relação a x:
F(x, y) = integral x^5 + x^3 y^2 dx = x^66 + x^4 y^24 + h(y)

Passo 8

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a mu(x) N(x, y):
partial Fpartial y = x^4 cdot 2y4 + h'(y) = x^4 y2 + h'(y)
mu(x) N(x, y) = -x^4 y
Igualando:
x^4 y2 + h'(y) = -x^4 y
h'(y) = -3x^4 y2
Como h'(y) não depende de x, isso implica que h'(y) = 0. Portanto, a função potencial é:
F(x, y) = x^66 + x^4 y^24 + C

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x^66 + x^4 y^24 = C

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