Questão 5.1)
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
x y^prime+y=x^2 y^2, com x neq 0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y' + y = x^2,y^2, xneq0
O conteúdo aqui é a equação de Bernoulli. Para resolver precisamos:
  1. Colocar em forma padrão y' + P(x)y = Q(x),y^n.
  2. Identificar n e fazer a substituição u=y^1-n.
  3. Resolver a EDO linear resultante em u.
  4. Voltar a y.

Passo 2

Dividindo a equação original por x (que é não nulo) obtemos a forma padrão
y' + 1x,y = x,y^2,
onde P(x)=tfrac1x, Q(x)=x e n=2.

Passo 3

Como n=2, fazemos a troca de variável
u = y^1-n = y^-1
Derivando,
u' = -,y'y^2

Passo 4

Queremos escrever uma equação em u. Da forma padrão temos y' = x,y^2 - tfrac1x,y. Substituindo em u' = -y'/y^2
u' = -x,y^2 - 1x,yy^2 = -x + 1x,yy^2 = -x + 1x,u
Reescrevendo em ordem canônica,
u' - 1x,u = -,x

Passo 5

Esta é uma EDO linear em u. O fator integrante é
mu(x) = expl(-integral 1x,dxr) = exp(-ln|x|) = 1x
Multiplicando a equação por mu(x):
1x,u' - 1x^2,u = -1 ;Longrightarrow; l(uxr)' = -1
Integrando em x:
ux = -x + C Longrightarrow u(x) = C,x - x^2,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original y, lembrando que u=1/y:
1y = C,x - x^2 Longrightarrow y(x) = 1C,x - x^2 = 1x,(C - x)
Além disso, yequiv0 é solução trivial que também satisfaz a equação original.

Resposta

A solução geral é
y(x) = 0 ou y(x) = 1C,x - x^2, CinR

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