Questão 5.1)
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
, com
.
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo aqui é a equação de Bernoulli. Para resolver precisamos:
- Colocar em forma padrão
. - Identificar
e fazer a substituição . - Resolver a EDO linear resultante em
. - Voltar a
.
Passo 2
Dividindo a equação original por
(que é não nulo) obtemos a forma padrão
onde
,
e
.
Passo 3
Como
, fazemos a troca de variável
Derivando,
Passo 4
Queremos escrever uma equação em
. Da forma padrão temos
. Substituindo em
dá
Reescrevendo em ordem canônica,
Passo 5
Esta é uma EDO linear em
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integrando em
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
, lembrando que
:
Além disso,
é solução trivial que também satisfaz a equação original.
Resposta
A solução geral é