Questão 5.1)
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
.
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
além de resolver o PVI com
. Observamos que, ao isolar
, o membro direito depende apenas da razão
, caracterizando uma equação homogênea. Vamos usar a substituição
.
Passo 2
Isolando
em
temos
Passo 3
Com
vem
Substituindo em
logo
Passo 4
Escrevemos
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Na integral à esquerda, tome
,
, daí
À direita,
Igualando e juntando constantes,
com
.
Passo 6
Multiplicando por
e exponenciando resulta
onde
. Voltando a
via
,
que é a forma implícita da solução geral.
Passo 7
Para o PVI
, substituímos
,
em
e achamos
. Assim, a solução particular é
Resposta
A solução geral da EDO é
Aplicando
, obtemos a solução do PVI: