Questão 5.1)
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
(x^2-y^2)-2 x y y^prime=0, com y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
(x^2 - y^2) - 2xy,y' = 0,
além de resolver o PVI com y(1)=0. Observamos que, ao isolar y', o membro direito depende apenas da razão y/x, caracterizando uma equação homogênea. Vamos usar a substituição v = y/x.

Passo 2

Isolando y' em
(x^2 - y^2) - 2xy,y' = 0
temos
2xy,y' = x^2 - y^2 Longrightarrow y' = x^2 - y^22xy

Passo 3

Com y = vx vem
y' = v + xdvdx
Substituindo em
v + xdvdx = x^2 - v^2x^22x,(vx) = 1 - v^22v,
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xdvdx = 1 - v^22v - v = 1 - 3v^22v

Passo 4

Escrevemos
dvdx = 1 - 3v^22v,x Longrightarrow 2v1 - 3v^2,dv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral 2v1 - 3v^2,dv = integral dxx

Passo 5

Na integral à esquerda, tome u = 1 - 3v^2, du = -6v,dv, daí
integral 2v1 - 3v^2,dv = -13integral duu = -tfrac13ln|u| + C1 = -tfrac13ln|1 - 3v^2| + C1
À direita,
integral dxx = ln|x| + C2
Igualando e juntando constantes,
-tfrac13ln|1 - 3v^2| = ln|x| + C
com C = C2 - C1.

Passo 6

Multiplicando por -3 e exponenciando resulta
ln|1 - 3v^2| = -3ln|x| + C' Longrightarrow 1 - 3v^2 = K,x^-3,
onde K=e^C'. Voltando a y via v=y/x,
1 - 3l(tfracyxr)^2 = K x^-3 Longrightarrow x^3 - 3xy^2 = C,
que é a forma implícita da solução geral.

Passo 7

Para o PVI y(1)=0, substituímos x=1, y=0 em
x^3 - 3xy^2 = C
e achamos C=1. Assim, a solução particular é
x^3 - 3xy^2 = 1

Resposta

A solução geral da EDO é
x^3 - 3xy^2 = C
Aplicando y(1)=0, obtemos a solução do PVI:
x^3 - 3xy^2 = 1

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