Questão 4: Encontre a solução geral da equação abaixo:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: y'' - 4y' + 4y = 0 . Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando o método dos coeficientes característicos.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Isso é feito substituindo y'' por r^2 , y' por r e y por 1. Ficamos com:
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Podemos fatorar:
(r - 2)(r - 2) = 0
Então, temos uma raiz dupla: r = 2 .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes repetidas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^rt
Aqui, r = 2 , então substituímos na fórmula:
y(t) = (C1 + C2 t) e^2t

Resposta

A solução geral da equação y'' - 4y' + 4y = 0 é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^2t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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