Questão 2. Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais ordinárias:
x^2-y^2+2 x y d yd x=0 (homogênea)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
x^2 - y^2 + 2,x,y,dydx = 0,
que é uma equação homogênea do tipo M(x,y)+N(x,y),y'=0 com M e N de grau 2. Vamos usar o método de substituição y = v,x.

Passo 2

Primeiro, isolamos dydx. Escrevendo a equação como
2,x,y,dydx = y^2 - x^2,
temos
dydx = y^2 - x^22,x,y

Passo 3

Fazendo a substituição homogênea
y = v,x,
onde v = v(x). Então
dydx = v + x,dvdx

Passo 4

Substituindo em dydx = tfracy^2-x^22xy obtemos
v + x,dvdx = (v,x)^2 - x^22,x,(v,x) = x^2(v^2-1)2,x^2v = v^2-12,v
Logo
x,dvdx = v^2-12,v - v = -v^2+12,v
Isto é uma equação de variáveis separáveis.

Passo 5

Separamos e integramos:
integral 2,vv^2+1,dv = integral -dxx
No lado esquerdo, integral 2v/(v^2+1),dv = ln(v^2+1). No direito, integral -dx/x = -ln|x|. Então
lnl(v^2+1r) = -ln|x| + C Longrightarrow lnl((v^2+1),xr) = C

Passo 6

Voltando a v = y/x, temos
(v^2+1),x = C1 Longrightarrow l(y^2x^2+1r)x = C1 Longrightarrow y^2 + x^2 = C1,x
Renomeando a constante C1 para C, obtemos a solução geral.

Resposta

y^2 + x^2 = C,x,
com C constante arbitrária.

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