Questão 2. Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais ordinárias:
(cos x cdot sen x-x y^2) d x+y(1-x^2) d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(cos xsin x - x y^2),dx + y(1 - x^2),dy = 0,
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo é de equações exatas: precisamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = cos xsin x - x y^2, partial phipartial y = y(1 - x^2)

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partialpartial y(cos xsin x - x y^2) = -2x y,
partialpartial xl(y(1 - x^2)r) = ycdot(-2x) = -2x y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos phi(x,y) integrando M(x,y)=cos xsin x - x y^2 em relação a x:
phi(x,y) = integral(cos xsin x),dx - integral x y^2,dx + h(y) = 12sin^2 x - 12x^2 y^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora exigimos
partial phipartial y = -x^2 y + h'(y) = y(1 - x^2)
Dessa igualdade segue h'(y)=y, logo
h(y)=12y^2 + constante

Passo 5

Portanto a função potencial é
phi(x,y) = tfrac12sin^2 x ;-;tfrac12x^2y^2 ;+;tfrac12y^2
A condição phi(x,y)=C dá a solução implícita. Multiplicando tudo por 2, fica mais simples:
sin^2 x ;+; y^2(1 - x^2) = C

Passo 6

Impondo y(0)=2 obtemos
sin^2(0) + 2^2l(1 - 0^2r) = 0 + 4 = 4,
logo C=4. A solução particular é
sin^2 x + y^2(1 - x^2) = 4

Passo 7

Podemos isolar y:
y^2 = 4 - sin^2 x1 - x^2,
e, como y(0)=2>0, escolhemos a raiz positiva:
y(x) = raiz4 - sin^2 x1 - x^2

Resposta

A solução geral implícita é
sin^2 x + y^2(1 - x^2) = C
Com y(0)=2 obtemos a solução particular
sin^2 x + y^2(1 - x^2) = 4 ou y(x) = raiz4 - sin^2 x1 - x^2

Exercícios relacionados