Questão 2. Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo é de equações exatas: precisamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que
O conteúdo é de equações exatas: precisamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Construímos
integrando
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora exigimos
Dessa igualdade segue
, logo
Passo 5
Portanto a função potencial é
A condição
dá a solução implícita. Multiplicando tudo por 2, fica mais simples:
Passo 6
Impondo
obtemos
logo
. A solução particular é
Passo 7
Podemos isolar
:
e, como
, escolhemos a raiz positiva:
Resposta
A solução geral implícita é
Com
obtemos a solução particular