Sejam
inteiros. Prove que, se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados inteiros a e b tais que mdc(a,4)=mdc(b,4)=2, então mdc(a+b,4)=4. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e máximo divisor comum (mdc). Vamos usar a definição de mdc e propriedades de números pares e ímpares.
Passo 2
Da definição de mdc(a,4)=2 segue que 2 divide a e que não há divisor comum maior que 2. Em particular, escrevemos a=2a′, onde a′ é inteiro e mdc(a′,2)=1. Como mdc(a′,2)=1, concluímos que a′ não é divisível por 2, ou seja, a′ é ímpar.
Passo 3
De modo análogo, mdc(b,4)=2 implica b=2b′ com b′ ímpar (pois mdc(b′,2)=1).
Passo 4
Agora considere a soma a+b. Temos
Como a′ e b′ são ímpares, a soma a′+b′ é par. Logo existe k inteiro tal que a′+b′=2k.
Passo 5
Substituindo na expressão de a+b, vem
ou seja, 4 divide a+b. Como 4 é o maior divisor comum que podemos ter entre 4 e qualquer múltiplo de 4, concluímos que mdc(a+b,4)=4.