Sejam a, b inteiros. Prove que, se m d c(a, 4)=m d c(b, 4)=2, então m d c(a+b, 4)=4.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados inteiros a e b tais que mdc(a,4)=mdc(b,4)=2, então mdc(a+b,4)=4. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e máximo divisor comum (mdc). Vamos usar a definição de mdc e propriedades de números pares e ímpares.

Passo 2

Da definição de mdc(a,4)=2 segue que 2 divide a e que não há divisor comum maior que 2. Em particular, escrevemos a=2a′, onde a′ é inteiro e mdc(a′,2)=1. Como mdc(a′,2)=1, concluímos que a′ não é divisível por 2, ou seja, a′ é ímpar.

Passo 3

De modo análogo, mdc(b,4)=2 implica b=2b′ com b′ ímpar (pois mdc(b′,2)=1).

Passo 4

Agora considere a soma a+b. Temos
a+b=2a+2b=2(a+b)
Como a′ e b′ são ímpares, a soma a′+b′ é par. Logo existe k inteiro tal que a′+b′=2k.

Passo 5

Substituindo na expressão de a+b, vem
a+b=2cdot2k=4k,
ou seja, 4 divide a+b. Como 4 é o maior divisor comum que podemos ter entre 4 e qualquer múltiplo de 4, concluímos que mdc(a+b,4)=4.

Resposta

mdc(a+b,4)=4.

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