Sejam a, b, c, d in Z. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
m d c(a, b)=m d c(b, a).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se mdc(a,b)=mdc(b,a). O conteúdo envolve propriedades do máximo divisor comum (mdc) e vamos usar a definição de conjuntos de divisores comuns.

Passo 2

Pela definição, um inteiro d é divisor comum de a e b se e somente se dmid a e dmid b. Logo, o conjunto de divisores comuns de (a,b) é
Da,b=dinZ:dmid a e dmid b
Mas a condição “ dmid a e dmid b” é idêntica a “ dmid b e dmid a”, então

Passo 3

os conjuntos de divisores comuns satisfazem
Da,b=Db,a
Como o mdc é o maior elemento (em valor absoluto) de cada conjunto, concluímos que

Passo 4

mdc(a,b), que é o máximo de Da,b, coincide com mdc(b,a), que é o máximo de Db,a.

Resposta

Verdadeira

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