Questão 2.
(
) Encontre a solução do problema de valor inicial:
sabendo que
é solução da equação diferencial acima.
(
Passo 1
O problema é a equação de Riccati
com condição inicial
. Sabemos que
é uma solução particular. Para resolver vamos usar a substituição típica de Riccati:
Passo 2
Derivando
e usando que
satisfaz a equação original, obtemos
e substituindo em
os termos com
se cancelam. Após simplificar surge a equação linear em
:
Passo 3
Resolvemos
por fator integrante
. Multiplicando:
Integrando,
logo
Passo 4
Voltando a
,
Passo 5
Impondo
dá
Então