Questão 2.
( 3,0 pt ) Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime=3 x^4+1x y+1x^6 y^2, y(1)=2,
sabendo que phi(x)=x^5 é solução da equação diferencial acima.

Passo 1

O problema é a equação de Riccati
y' = 3x^4 + 1x,y + 1x^6,y^2,
com condição inicial y(1)=2. Sabemos que phi(x)=x^5 é uma solução particular. Para resolver vamos usar a substituição típica de Riccati:
y = phi + 1u = x^5 + 1u(x)

Passo 2

Derivando y e usando que phi satisfaz a equação original, obtemos
y' = phi' - u'u^2,
e substituindo em
phi' - u'u^2 =3x^4+1xl(phi+1ur) +1x^6l(phi+1ur)^2,
os termos com phi se cancelam. Após simplificar surge a equação linear em u:
u' + 3x,u = -1x^6

Passo 3

Resolvemos
u' + 3x,u = -1x^6
por fator integrante mu(x)=e^integral3/x,dx=x^3. Multiplicando:
ddxl(x^3ur) = -,x^3x^6 = -,1x^3
Integrando,
x^3u = integral -x^-3,dx = 12x^2 + C,
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u(x) = 12x^5 + C,x^-3

Passo 4

Voltando a y = x^5 + 1/u,
y(x) = x^5 + 112x^5+C x^-3 = x^5 + 2x^51+2C x^2 = x^5,3+2C x^21+2C x^2

Passo 5

Impondo y(1)=2
2 = 1^5,3+2C1+2C ;Longrightarrow; 2(1+2C)=3+2C ;Longrightarrow;C=tfrac12
Então
y(x) = x^5,3 + x^21 + x^2

Resposta

y(x) = x^5,x^2 + 3,x^2 + 1,

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