Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo:
(1,0 pt) y^prime=y^4(e^x+x^5).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = y^4l(e^x + x^5r)
Este é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis: podemos escrever todos os y de um lado e todos os x do outro e então integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo por y^4 e multiplicando por dx:
dyy^4 = l(e^x + x^5r),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. À esquerda temos
integral y^-4,dy = integral dyy^4 = -13,y^3,
e à direita
integral l(e^x+x^5r),dx = integral e^x,dx + integral x^5,dx = e^x + x^66 + C,
onde C é a constante de integração. Assim:
-13,y^3 = e^x + x^66 + C

Passo 4

Multiplique por -3 para isolar 1/y^3:
1y^3 = -3,e^x - x^62 + C1,
onde redefinimos a constante como C1=-3C. Em seguida, invertendo e extraindo a raiz cúbica, obtemos
y^3 = 1,C1 - 3e^x - tfracx^62, Longrightarrow y = l(C1 - 3e^x - tfracx^62r)^-tfrac13

Resposta

y(x) = l(K - 3e^x - tfracx^62r)^-tfrac13,
onde K é uma constante arbitrária.

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