Questão 3 - Um engenheiro está testando diferentes modelos de cabos para sustentar uma ponte. O cálculo da resistência envolve resolver a equação:
F(x)=x^{2}+4 x+k=0
onde k depende do tipo de material. Determine os valores de k para que a equação tenha:
Uma única solução real,

Passo 1

O enunciado dá a equação
F(x)=x^{2}+4x+k=0
e pede: determinar os valores de k para que a equação tenha uma única solução real.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é um polinômio de segundo grau em x.
  • O coeficiente associado a k é o termo constante.
  • Precisamos encontrar os valores de k que fazem o polinômio ter exatamente uma solução real (ou seja, uma única raiz real).

Passo 2

Entender o que significa “uma única solução real” para uma equação quadrática.
Toda equação quadrática geral tem a forma
ax^{2}+bx+c=0,
onde a, b e c são números reais e a\neq 0. Para essa equação usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para obter as raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde definimos o discriminante \Delta por
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicação do papel de \Delta:
  • Se \Delta>0, então \sqrt{\Delta} é positivo e aparecem duas raízes reais distintas (os sinais \pm dão dois valores).
  • Se \Delta=0, então \sqrt{\Delta}=0 e as duas expressões da fórmula coincidem, resultando em exatamente uma raiz real (uma raiz dupla).
  • Se \Delta<0, então \sqrt{\Delta} não é real e não há raízes reais (aparecem raízes complexas conjugadas).
Portanto, para que a equação tenha uma única solução real devemos ter
\Delta=0.

Passo 3

Aplicar isso ao nosso caso. Identificamos os coeficientes na equação \,x^{2}+4x+k=0\,:
a=1,\qquad b=4,\qquad c=k.
Calculemos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 1\cdot k=16-4k.
Impondo a condição de única solução real \Delta=0:
16-4k=0.
Resolver para k:
-4k=-16\qquad\Rightarrow\qquad k=\frac{-16}{-4}=4.
Agora, para verificar, calculemos a raiz quando k=4. A raiz única (raiz dupla) é dada por
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot 1}=-2.
Verificação direta substituindo x=-2 na equação com k=4:
(-2)^{2}+4(-2)+4=4-8+4=0,
portanto está correta: há exatamente uma solução real x=-2 quando k=4. (Geometricamente, a parábola é tangente ao eixo x em x=-2.)

Passo 4

Para fixar a ideia com exemplos rápidos:
  • Se k=0, então \Delta=16-0=16>0 e temos duas raízes reais distintas.
  • Se k=5, então \Delta=16-20=-4<0 e não há raízes reais.
    Isso mostra como variar k muda o número de soluções reais.

Resposta

k=4

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