Questão 3 - Um engenheiro está testando diferentes modelos de cabos para sustentar uma ponte. O cálculo da resistência envolve resolver a equação:
onde k depende do tipo de material. Determine os valores de k para que a equação tenha:
Uma única solução real,
Uma única solução real,
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: determinar os valores de
para que a equação tenha uma única solução real.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é um polinômio de segundo grau em
. - O coeficiente associado a
é o termo constante. - Precisamos encontrar os valores de
que fazem o polinômio ter exatamente uma solução real (ou seja, uma única raiz real).
Passo 2
Entender o que significa “uma única solução real” para uma equação quadrática.
Toda equação quadrática geral tem a forma
Toda equação quadrática geral tem a forma
onde
,
e
são números reais e
. Para essa equação usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para obter as raízes:
onde definimos o discriminante
por
Explicação do papel de
:
- Se
, então é positivo e aparecem duas raízes reais distintas (os sinais dão dois valores). - Se
, então e as duas expressões da fórmula coincidem, resultando em exatamente uma raiz real (uma raiz dupla). - Se
, então não é real e não há raízes reais (aparecem raízes complexas conjugadas).
Portanto, para que a equação tenha uma única solução real devemos ter
Passo 3
Aplicar isso ao nosso caso. Identificamos os coeficientes na equação
:
Calculemos o discriminante:
Impondo a condição de única solução real
:
Resolver para
:
Agora, para verificar, calculemos a raiz quando
. A raiz única (raiz dupla) é dada por
Verificação direta substituindo
na equação com
:
portanto está correta: há exatamente uma solução real
quando
. (Geometricamente, a parábola é tangente ao eixo
em
.)
Passo 4
Para fixar a ideia com exemplos rápidos:
- Se
, então e temos duas raízes reais distintas. - Se
, então e não há raízes reais.
Isso mostra como variarmuda o número de soluções reais.