Questão 8

Enunciado

Apenas cinco casais participam de uma reunião. Após os cumprimentos, João pergunta a cada um dos outros nove participantes: “Quantos apertos de mão você deu?” e obtém todas as nove respostas possíveis: 0,1,2,3, 4,5,6,7,8. Qual foi a resposta da esposa de João? (Obs.: ninguém apertou a mão do próprio cônjuge.)

Passo 1

Resumindo o enunciado: numa reunião há 5 casais (10 pessoas) e cada indivíduo aperta a mão de todos, exceto de si próprio e do próprio cônjuge, de modo que cada pessoa pode dar de 0 até 8 apertos de mão. João perguntou aos outros 9 participantes “Quantos apertos você deu?” e obteve exatamente as nove respostas
0,1,2,3,4,5,6,7,8
Pergunta-se: qual foi a resposta da esposa de João?

Passo 2

Considere quem respondeu 0: essa pessoa não apertou a mão de ninguém. Quem respondeu 8 afirma ter apertado a mão de todas as 8 pessoas possíveis (todos exceto o próprio cônjuge). Se quem disse 8 tivesse incluído a pessoa que disse 0, então essa última teria ao menos 1 aperto, o que é impossível. Logo, a pessoa que respondeu 0 e a que respondeu 8 não se apertaram por serem cônjuges.

Passo 3

Aplicando o mesmo argumento aos pares (1,7), (2,6) e (3,5): em cada um desses pares quem deu o menor número de apertos não pode ter apertado a mão de quem deu o maior número, de modo que cada par corresponde a um casal entre os 9 entrevistados.

Passo 4

Restou apenas a resposta 4 entre os 9 entrevistados. Como já formamos quatro casais completos com as outras oito respostas, o único participante não pareado é a pessoa que respondeu 4. Esse participante deve ser a esposa de João (pois João não foi entrevistado).

Resposta

A esposa de João respondeu 4.

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