Questão 6

Enunciado

De quantos modos podemos formar uma roda com 5 meninas e 5 meninos de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações circulares de 10 pessoas (5 meninas e 5 meninos) em que duas meninas específicas, Vera e Isadora, não fiquem lado a lado. O conteúdo usado será permutação circular e o método complementar (contar total e subtrair os indesejados).

Passo 2

Primeiro calculamos o total de arranjos circulares de 10 pessoas, sem restrição. Em permutação circular de n objetos temos
(n-1)!
Aqui n=10, logo
total = (10-1)! = 9!

Passo 3

Agora contamos quantas permutações têm Vera e Isadora juntas. Agrupamos as duas como um único “super-elemento”. Assim ficamos com 9 unidades para dispor em círculo e, dentro do bloco, podemos trocar de ordem as duas meninas de 2! formas. Portanto
juntas = (9-1)! times 2! = 8! times 2

Passo 4

Pelo método complementar, as permutações em que Vera e Isadora não ficam juntas são
válidas = 9! - 2cdot8! á
Numericamente, como 9! = 362880 e 8! = 40320, temos
válidas = 362880 - 2times40320 = 362880 - 80640 = 282240 á

Resposta

O número de modos de formar a roda com Vera e Isadora não juntas é 282240.

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