Questão 3
Enunciado
Estava correndo a OMC entre escolas públicas e privadas. Durante a primeira fase da Olimpíada de Matemática de Cuiabá (OMC), foram classificadas as seguintes séries: 3 da Escola 1, 2 da Escola 2, 1 da Escola 3, 2 da Escola 4 e 4 da Escola 5. Nessa fase, serão aplicadas três provas das disciplinas de (geometria, álgebra e análise combinatória), e ao final, quatro escolas serão selecionadas para disputar as semifinais. As semifinais serão compostas por dois duelos, e os vencedores de cada duelo se enfrentarão na final. Qual é a probabilidade de que as Escolas 3 e 5 se enfrentem na prova final?
Passo 1
O enunciado diz que há
classificados na primeira fase, distribuídos por escola assim: Escola 1 tem 3, Escola 2 tem 2, Escola 3 tem 1, Escola 4 tem 2 e Escola 5 tem 4. Dessas
séries, sorteiam-se
para as semifinais (cada série corresponde a uma escola), formam-se dois duelos aleatórios entre essas quatro e, após cada duelo, o vencedor avança à final. Queremos a probabilidade de que as Escolas 3 e 5 se encontrem na final. Vamos usar teoria de probabilidade condicional, modelo hipergeométrico para seleção sem reposição e combinatória de chaves de torneio.
Passo 2
Calcular
. Ao sortear 4 séries de 12 sem reposição, queremos pelo menos uma da Escola 3 (peso 1) e pelo menos uma da Escola 5 (peso 4). Usamos complementar:
Aqui
Como
,
,
,
, temos
Passo 3
Dada a presença de 3 e 5 nas semifinais, a probabilidade de elas se encontrarem na final é:
- Precisam ficar em chaves diferentes: ao emparelhar aleatoriamente 4 times, a chance de 3 e 5 caírem em semifinais distintas é
. - Cada uma tem
de vencer seu duelo, independentemente. Então ambas vencem com probabilidade .
Logo,
Passo 4
Pela regra da probabilidade composta,