Questão 3

Enunciado

Estava correndo a OMC entre escolas públicas e privadas. Durante a primeira fase da Olimpíada de Matemática de Cuiabá (OMC), foram classificadas as seguintes séries: 3 da Escola 1, 2 da Escola 2, 1 da Escola 3, 2 da Escola 4 e 4 da Escola 5. Nessa fase, serão aplicadas três provas das disciplinas de (geometria, álgebra e análise combinatória), e ao final, quatro escolas serão selecionadas para disputar as semifinais. As semifinais serão compostas por dois duelos, e os vencedores de cada duelo se enfrentarão na final. Qual é a probabilidade de que as Escolas 3 e 5 se enfrentem na prova final?

Passo 1

O enunciado diz que há 12 classificados na primeira fase, distribuídos por escola assim: Escola 1 tem 3, Escola 2 tem 2, Escola 3 tem 1, Escola 4 tem 2 e Escola 5 tem 4. Dessas 12 séries, sorteiam-se 4 para as semifinais (cada série corresponde a uma escola), formam-se dois duelos aleatórios entre essas quatro e, após cada duelo, o vencedor avança à final. Queremos a probabilidade de que as Escolas 3 e 5 se encontrem na final. Vamos usar teoria de probabilidade condicional, modelo hipergeométrico para seleção sem reposição e combinatória de chaves de torneio.

Passo 2

Calcular P(3 e 5 estejam nas semifinais). Ao sortear 4 séries de 12 sem reposição, queremos pelo menos uma da Escola 3 (peso 1) e pelo menos uma da Escola 5 (peso 4). Usamos complementar:
P(ambas) = 1 - P(nenhuma da 3) - P(nenhuma da 5) + P(nenhuma de 3 nem de 5)
Aqui
P(nenhuma da 3) = binom114binom124, P(nenhuma da 5) = binom84binom124, P(nenhuma de 3 nem de 5) = binom74binom124
Como binom124=495, binom114=330, binom84=70, binom74=35, temos
P(ambas) = 1 - 330495 - 70495 + 35495 = 130495 = 2699

Passo 3

Dada a presença de 3 e 5 nas semifinais, a probabilidade de elas se encontrarem na final é:
  • Precisam ficar em chaves diferentes: ao emparelhar aleatoriamente 4 times, a chance de 3 e 5 caírem em semifinais distintas é 1 - tfrac13 = tfrac23.
  • Cada uma tem 1/2 de vencer seu duelo, independentemente. Então ambas vencem com probabilidade tfrac12cdottfrac12=tfrac14.
Logo,
P(final mid ambas) = 23times14 = 16

Passo 4

Pela regra da probabilidade composta,
P(3 e 5 na final) = P(ambas)times P(finalmidambas) = 2699times16 = 26594 = 13297

Resposta

13297

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