Questão 4

Enunciado

Oito pessoas, incluindo os irmãos Antônio, Bruno e Carlos, vão passear em 4 canoas diferentes. Cada canoa vão sentar 2 pessoas. As 8 pessoas são distribuídas aleatoriamente entre 4 canoas. Qual é a probabilidade de que os irmãos quaisquer não fiquem juntos em uma mesma canoa?

Passo 1

O enunciado diz que há 8 pessoas, entre elas os irmãos Antônio, Bruno e Carlos, que vão ser distribuídas aleatoriamente em 4 canoas, cada uma comportando 2 pessoas. Queremos a probabilidade de que nenhum par de irmãos fique junto na mesma canoa. O conteúdo aqui é combinatória básica (contagem de agrupamentos) e probabilidade clássica (casos favoráveis sobre casos totais).

Passo 2

Primeiro, contamos o número total de distribuições possíveis das 8 pessoas em 4 canoas de 2 lugares. Podemos escolher 2 pessoas para a canoa 1, depois 2 das restantes para a canoa 2, e assim por diante. Isso dá
binom82,binom62,binom42,binom22 =28cdot15cdot6cdot1 =2520
Logo, há 2520 maneiras igualmente prováveis de sentar as 8 pessoas.

Passo 3

Agora, vamos contar os casos em que nenhum par de irmãos está na mesma canoa. Os 3 irmãos devem ocupar 3 canoas distintas, cada uma junto a um não-irmão, e a canoa restante leva os 2 não-irmãos que sobrarem.
  1. Escolhemos quais 3 canoas vão receber os irmãos: binom43=4.
  2. Distribuímos os 3 irmãos nessas 3 canoas, em qualquer ordem: 3!=6.
  3. Dos 5 não-irmãos, escolhemos 3 para emparelhar com os irmãos: binom53=10, e associamos cada um dessas 3 canoas em 3!=6 formas.
  4. Os 2 não-irmãos restantes vão juntos na canoa livre, de modo único.
Multiplicando tudo:
4 cdot 6 cdot 10 cdot 6 = 1440
Então há 1440 distribuições em que nenhum par de irmãos fica junto.

Passo 4

A probabilidade pedida é o quociente entre casos favoráveis e casos totais:
14402520 = 47

Resposta

A probabilidade de que nenhum par de irmãos fique junto em uma mesma canoa é 47.

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