Questão 4
Enunciado
Oito pessoas, incluindo os irmãos Antônio, Bruno e Carlos, vão passear em 4 canoas diferentes. Cada canoa vão sentar 2 pessoas. As 8 pessoas são distribuídas aleatoriamente entre 4 canoas. Qual é a probabilidade de que os irmãos quaisquer não fiquem juntos em uma mesma canoa?
Passo 1
O enunciado diz que há 8 pessoas, entre elas os irmãos Antônio, Bruno e Carlos, que vão ser distribuídas aleatoriamente em 4 canoas, cada uma comportando 2 pessoas. Queremos a probabilidade de que nenhum par de irmãos fique junto na mesma canoa. O conteúdo aqui é combinatória básica (contagem de agrupamentos) e probabilidade clássica (casos favoráveis sobre casos totais).
Passo 2
Primeiro, contamos o número total de distribuições possíveis das 8 pessoas em 4 canoas de 2 lugares. Podemos escolher 2 pessoas para a canoa 1, depois 2 das restantes para a canoa 2, e assim por diante. Isso dá
Logo, há
maneiras igualmente prováveis de sentar as 8 pessoas.
Passo 3
Agora, vamos contar os casos em que nenhum par de irmãos está na mesma canoa. Os 3 irmãos devem ocupar 3 canoas distintas, cada uma junto a um não-irmão, e a canoa restante leva os 2 não-irmãos que sobrarem.
- Escolhemos quais 3 canoas vão receber os irmãos:
. - Distribuímos os 3 irmãos nessas 3 canoas, em qualquer ordem:
. - Dos 5 não-irmãos, escolhemos 3 para emparelhar com os irmãos:
, e associamos cada um dessas 3 canoas em formas. - Os 2 não-irmãos restantes vão juntos na canoa livre, de modo único.
Multiplicando tudo:
Então há
distribuições em que nenhum par de irmãos fica junto.
Passo 4
A probabilidade pedida é o quociente entre casos favoráveis e casos totais:
Resposta
A probabilidade de que nenhum par de irmãos fique junto em uma mesma canoa é
.