Questão 5

Enunciado

Um professor de Matemática preparou um jogo no Kahoot para suas três turmas do 5^circ ano, totalizando 80 alunos. O jogo foi elaborado para avaliar o conhecimento dos estudantes nas quatro operações matemáticas.
O jogo foi dividido em 4 rodadas:
  1. Adição
  2. Subtração
  3. Multiplicação
  4. Divisão
Em cada rodada, os 5 alunos com menor pontuação seriam eliminados do jogo. Ao final, os 3 alunos com as maiores pontuações receberiam prêmios. De quantas formas diferentes os 3 melhores alunos podem ser classificados no pódio ( 1 ㅇ, 2 ㅇ e 3 은 lugares)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um professor que fez um jogo para 80 alunos dividido em 4 rodadas: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão. Em cada rodada, 5 alunos são eliminados, e no final, queremos saber de quantas formas diferentes 3 alunos podem ocupar os três primeiros lugares no pódio. Vamos usar a matéria de combinatória, especificamente permutação, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantos alunos vão ficar no jogo até o final. Como são 80 alunos no total e em cada uma das 4 rodadas 5 alunos são eliminados, fazemos a conta:
80 - (4 times 5) = 80 - 20 = 60
Então, restam 60 alunos no final do jogo.

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos classificar 3 alunos entre esses 60 nos três primeiros lugares: 1º, 2º e 3º. Como a ordem importa (1º lugar é diferente do 2º, que é diferente do 3º), usamos a permutação.
A fórmula para a permutação de n elementos tomados k a k é:
P(n, k) = n times (n - 1) times (n - 2) times dots times (n - k + 1)
No nosso caso, n = 60 e k = 3 :
P(60, 3) = 60 times 59 times 58

Passo 4

Vamos calcular isso:
60 times 59 = 3.540
3.540 times 58 = 205.320

Resposta

Portanto, existem 205.320 formas diferentes de classificar os 3 melhores alunos no pódio.

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