Questão 4

Enunciado

De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos de 3 e 2 grupos de 4?

Passo 1

O enunciado pede o número de formas de particionar um conjunto de 20 objetos distintos em 4 grupos de tamanho 3 e 2 grupos de tamanho 4.
Conteúdo: partição de conjunto em blocos de tamanhos fixos. Vamos usar a fórmula geral
n!l(prodi si!r),l(prodj mj!r)
onde n é o total de objetos, si são os tamanhos dos grupos e mj a multiplicidade de cada tamanho.

Passo 2

Primeiro dividimos por 3! para cada um dos 4 grupos de tamanho 3 e por 4! para cada um dos 2 grupos de tamanho 4. Isso remove as ordenações internas:
prodi si! ;=;(3!)^4,(4!)^2

Passo 3

Depois precisamos dividir por 4! porque os 4 grupos de tamanho 3 são indistinguíveis entre si, e por 2! porque os 2 grupos de tamanho 4 também são indistinguíveis. Isso remove a permutação entre grupos de mesmo tamanho.

Resposta

20!(3!)^4,(4!)^2,4!,2!

Exercícios relacionados