Questão 1

Enunciar e provar o teste da raiz.

Passo 1

Estamos com uma série numérica sumn=1^infty an e queremos saber quando ela converge ou diverge usando o teste da raiz. O conteúdo aqui é convergência absoluta de séries e vamos precisar da noção de n-ésima raiz e de limsup.

Passo 2

Primeiro, vamos enunciar o teste da raiz (Cauchy): seja L = limsupntoinfty raiz[n]|an|. Então:
  • Se L<1, a série sum an converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora provamos o caso L<1. Como limsupntoinfty raiz[n]|an| = L < 1, existe um q tal que L < q < 1 e um índice N para o qual, para todo n>= N, vale
raiz[n]|an| <= q
Elevando à potência n, obtemos |an| <= q^n. Mas sum q^n é uma série geométrica convergente (pois q<1), logo sum |an| converge por comparação, ou seja, sum an converge absolutamente.

Passo 4

Agora provamos o caso L>1. Como limsupntoinfty raiz[n]|an| = L > 1, existe varepsilon>0 tal que L-varepsilon>1. Para infinitos n (ou ao menos para n suficientemente grande) temos
raiz[n]|an| >= L - varepsilon > 1,
logo |an| >= (L-varepsilon)^n. Como L-varepsilon>1, isso impede anto0 e, portanto, a série não pode convergir (necessariamente diverge).

Passo 5

Finalmente, note que quando L=1 o teste não dá informação suficiente (por exemplo, sum 1/n e sum 1/n^2 têm L=1 mas comportamentos diferentes).

Resposta

Teste da raiz (Cauchy): seja a série sumn=1^infty an e defina
L = limsupntoinfty raiz[n]|an|
Então se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 a série diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

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