Questão 1
Enunciar e provar o teste da raiz.
Passo 1
Estamos com uma série numérica
e queremos saber quando ela converge ou diverge usando o teste da raiz. O conteúdo aqui é convergência absoluta de séries e vamos precisar da noção de
-ésima raiz e de
.
Passo 2
Primeiro, vamos enunciar o teste da raiz (Cauchy): seja
. Então:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora provamos o caso
. Como
, existe um
tal que
e um índice
para o qual, para todo
, vale
Elevando à potência
, obtemos
. Mas
é uma série geométrica convergente (pois
), logo
converge por comparação, ou seja,
converge absolutamente.
Passo 4
Agora provamos o caso
. Como
, existe
tal que
. Para infinitos
(ou ao menos para
suficientemente grande) temos
logo
. Como
, isso impede
e, portanto, a série não pode convergir (necessariamente diverge).
Passo 5
Finalmente, note que quando
o teste não dá informação suficiente (por exemplo,
e
têm
mas comportamentos diferentes).
Resposta
Teste da raiz (Cauchy): seja a série
e defina
Então se
a série converge absolutamente; se
a série diverge; e se
o teste é inconclusivo.