a. Usando a definição de transformada de Laplace, calcular l y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^2 t y(0)=1 y^prime(0)=0 .
b. Usando o método de transformada de Laplace, resolver o problema seguinte :

Passo 1

A questão tem duas partes: na (a) a gente vai usar a definição da transformada de Laplace para obter mathscrLe^2t; na (b) vamos resolver a EDO y''+3y'+2y=e^2t com as condições iniciais usando o método da transformada de Laplace, transformando a equação em uma equação algébrica em Y(s) e depois voltando para o tempo.

Passo 2

Para a parte (a), lembramos que a definição da transformada de Laplace é
mathscrLf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Aplicando em f(t)=e^2t temos
mathscrLe^2t=integral0^inftye^-ste^2t,dt=integral0^inftye^-(s-2)t,dt
Como Re(s)>2, essa integral converge e dá
integral0^inftye^-(s-2)t,dt=1s-2

Passo 3

Para a parte (b), aplicamos a transformada de Laplace em cada termo de
y''+3y'+2y=e^2t,
usando os resultados:
mathscrLy'(t)=sY(s)-y(0),
mathscrLy''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
mathscrLe^2t=1s-2

Passo 4

Substituindo y(0)=1 e y'(0)=0 na transformada, a equação vira
(s^2Y(s)-s)+3(sY(s)-1)+2Y(s)=1s-2
Reorganizando termos em Y(s) e constantes, obtemos
(s^2+3s+2)Y(s)-(s+3)=1s-2,
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Y(s)=1s-2cdot1s^2+3s+2+s+3s^2+3s+2

Passo 5

Factorizando o denominador s^2+3s+2=(s+1)(s+2) e combinando as frações, chega-se a
Y(s)=s^2+s-5(s-2)(s+1)(s+2)
Agora fazemos frações parciais na forma
Y(s)=As-2+Bs+1+Cs+2
Analisando pólos em s=2,-1,-2 encontramos
$$A=\tfrac{1}{12},\quad B=\tfrac{5}{3},\quad C=-\tfrac{3}{4}.
$$

Passo 6

Invertendo a transformada de cada termo temos
y(t)=112e^2t+53e^-t-34e^-2t

Resposta

a) (\mathscr{L}{e^{2t}}=\frac{1}{s-2},\quad s>2.\n b) \displaystyle y(t)=\frac{1}{12}e{2t}+\frac{5}{3}e{-t}-\frac{3}{4}e^{-2t}.

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