Questão 1: Resolva os PVI’s abaixo
y^{\prime}-(\operatorname{tg} t) y=\cos t, y(0)=1

Passo 1

O problema pede que a gente resolva o problema de valor inicial (PVI)
y'(t)-(\tan t)\,y(t)=\cos t,\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
\text{equação diferencial: }y'-(\tan t)y=\cos t,çã
\text{condição inicial: }y(0)=1.çã
Objetivo: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, em um intervalo onde a solução está bem definida (note que \tan t e \operatorname{sec} t exigem \cos t\neq0).

Passo 2

Vamos reconhecer o tipo de equação e colocá-la na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. A forma padrão é
y'(t)+p(t)y(t)=q(t).
Reescrevendo a equação dada:
y'(t)+\bigl(-\tan t\bigr)y(t)=\cos t.
Assim temos
p(t)=-\tan t,\qquad q(t)=\cos t.

Passo 3

Aplico o método do fator integrante. A ideia (mini-aula) é: para uma equação y'+p(t)y=q(t) definimos o fator integrante
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt},
pois multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\mu y'+\mu p y=(\mu y)'.
Explicando a identidade: usando a regra do produto,
(\mu y)'=\mu' y+\mu y'=\bigl(\mu p\bigr) y+\mu y' \quad\text{se}\quad \mu'=\mu p,
e \mu'=\mu p é exatamente a equação que satisfaz \mu=e^{\int p}. Depois integramos (\mu y)'=\mu q para obter \mu y=\int \mu q + C.

Passo 4

Calculo do fator integrante para o nosso p(t)=-\tan t:
\int p(t)\,dt=\int -\tan t\,dt=\int -\frac{\sin t}{\cos t}\,dt.
Uma primitiva é \ln(\cos t) porque \dfrac{d}{dt}\bigl(\ln(\cos t)\bigr)=\dfrac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t. Logo
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\ln(\cos t)}=\cos t.
(Obs.: rigorosamente seria \mu(t)=|\cos t|, mas podemos tomar \mu(t)=\cos t num intervalo onde \cos t não muda de sinal; com a condição inicial em t=0 consideramos o intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).)

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(t)=\cos t:
\cos t\,y'-(\cos t)(\tan t)\,y=\cos t\cdot\cos t.
Como (\cos t)(\tan t)=\sin t, o lado esquerdo fica
\cos t\,y'-\sin t\,y.
Pelo passo da ideia do fator integrante sabemos que esse lado é o derivado do produto \cos t\cdot y(t). De fato,
\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\;y(t)\bigr)= -\sin t\,y+\cos t\,y'=\cos t\,y'-\sin t\,y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\;y(t)\bigr)=\cos^2 t.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a t:
\cos t\;y(t)=\int \cos^2 t\,dt + C.
Agora uma primitiva conhecida é obtida pela identidade de ângulo duplo:
\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}.
Logo
\int \cos^2 t\,dt=\int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int 1\,dt+\frac{1}{2}\int \cos 2t\,dt =\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t.
Assim
\cos t\;y(t)=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t + C.

Passo 7

Simplifico a expressão usando \sin 2t=2\sin t\cos t. Substituindo,
\cos t\;y(t)=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\cdot 2\sin t\cos t + C =\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin t\cos t + C.
Dividindo por \cos t (lembrando \cos t\neq0 no intervalo considerado) obtemos
y(t)=\frac{\tfrac{1}{2}t}{\cos t}+\frac{\tfrac{1}{2}\sin t\cos t}{\cos t}+\frac{C}{\cos t} =\frac{1}{2}t\operatorname{sec} t+\frac{1}{2}\sin t + C\operatorname{sec} t.

Passo 8

Agora uso a condição inicial y(0)=1. Avalio a fórmula em t=0:
y(0)=\frac{1}{2}\cdot 0\cdot\operatorname{sec} 0+\frac{1}{2}\sin 0 + C\operatorname{sec} 0 = 0+0+C\cdot 1 = C.
Como y(0)=1, segue que C=1. Substituindo C=1 na expressão de y(t),
y(t)=\frac{1}{2}t\operatorname{sec} t+\frac{1}{2}\sin t + \operatorname{sec} t.

Resposta

y(t)=\left(1+\frac{t}{2}\right)\operatorname{sec} t+\frac{1}{2}\sin t,\qquad \text{válido em }(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).á

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