Questão 1: Resolva os PVI’s abaixo
Passo 1
O problema pede que a gente resolva o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
Objetivo: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, em um intervalo onde a solução está bem definida (note que
e
exigem
).
Passo 2
Vamos reconhecer o tipo de equação e colocá-la na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. A forma padrão é
Reescrevendo a equação dada:
Assim temos
Passo 3
Aplico o método do fator integrante. A ideia (mini-aula) é: para uma equação
definimos o fator integrante
pois multiplicando a equação por
obtemos
Explicando a identidade: usando a regra do produto,
e
é exatamente a equação que satisfaz
. Depois integramos
para obter
.
Passo 4
Calculo do fator integrante para o nosso
:
Uma primitiva é
porque
. Logo
(Obs.: rigorosamente seria
, mas podemos tomar
num intervalo onde
não muda de sinal; com a condição inicial em
consideramos o intervalo
.)
Passo 5
Multiplico a equação original por
:
Como
, o lado esquerdo fica
Pelo passo da ideia do fator integrante sabemos que esse lado é o derivado do produto
. De fato,
Portanto a equação fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
Agora uma primitiva conhecida é obtida pela identidade de ângulo duplo:
Logo
Assim
Passo 7
Simplifico a expressão usando
. Substituindo,
Dividindo por
(lembrando
no intervalo considerado) obtemos
Passo 8
Agora uso a condição inicial
. Avalio a fórmula em
:
Como
, segue que
. Substituindo
na expressão de
,