Questão 4: Pneu II
Considerando que os raios dos pneus do carro e da bicicleta são, respectivamente,
e
. Dando a tensão crítica
, os pneus estão calibrados com as pressões máximas. Para suportar um peso de
, considere aceleração gravitacional
e calcule as deformações do pneu nos dois casos.
Dica: Considere que o contato entre a parte inferior do pneu e o chão é uma seção de reta horizontal.
Passo 1
O enunciado apresenta dois pneus, um de raio
(carro) e outro de raio
(bicicleta), ambos calibrados de modo que a tensão de membrana máxima atingida no material é
. Sob a ação do peso
(força
), cada pneu fica parcialmente “achatado” na região de contato com o chão, formando um trecho de reta de largura
(ou
). Vamos usar:
- A lei de Laplace para membranas cilíndricas:
, onde é a tensão linear (força por comprimento) e a pressão interna. - Equilíbrio vertical: o peso é sustentado pela força de pressão agindo na área de contato.
- Geometria do arco achatado para relacionar
e a deflexão .
Passo 2
Como a tensão máxima permitida na membrana é
, a pressão interna em cada pneu vale
Passo 3
Se o meio-ângulo do arco não deformado é
, a largura do trecho achatado é
e a deflexão vertical da borda até o ponto médio é
para o pneu de raio
, e analogamente
para o raio
.
Passo 4
O peso
é equilibrado pela pressão agindo nessa faixa de contato (por unidade de profundidade ao longo do eixo do pneu):
Substituindo
(ou
) obtemos, em ambos os casos,
Passo 5
Como
, a deflexão final para cada pneu é