Questão 4: Pneu II
Considerando que os raios dos pneus do carro e da bicicleta são, respectivamente, R e r. Dando a tensão crítica \sigma_{c}, os pneus estão calibrados com as pressões máximas. Para suportar um peso de M, considere aceleração gravitacional \vec{g} e calcule as deformações do pneu nos dois casos.
Dica: Considere que o contato entre a parte inferior do pneu e o chão é uma seção de reta horizontal.

Passo 1

O enunciado apresenta dois pneus, um de raio R (carro) e outro de raio r (bicicleta), ambos calibrados de modo que a tensão de membrana máxima atingida no material é \sigma_{c}. Sob a ação do peso M (força M g), cada pneu fica parcialmente “achatado” na região de contato com o chão, formando um trecho de reta de largura 2R\sin\theta (ou 2r\sin\theta). Vamos usar:
  • A lei de Laplace para membranas cilíndricas: p\,R=T, onde T é a tensão linear (força por comprimento) e p a pressão interna.
  • Equilíbrio vertical: o peso é sustentado pela força de pressão agindo na área de contato.
  • Geometria do arco achatado para relacionar \theta e a deflexão \delta.

Passo 2

Como a tensão máxima permitida na membrana é T_{\max}=\sigma_{c}, a pressão interna em cada pneu vale
p_{\rm carro}=\frac{\sigma_{c}}{R} \quad,\quad p_{\rm bike}=\frac{\sigma_{c}}{r}\,.

Passo 3

Se o meio-ângulo do arco não deformado é \theta, a largura do trecho achatado é
2R\sin\theta \quad(\text{ou }2r\sin\theta)
e a deflexão vertical da borda até o ponto médio é
\delta=R - R\cos\theta = R\bigl(1-\cos\theta\bigr)
para o pneu de raio R, e analogamente \delta = r(1-\cos\theta) para o raio r.

Passo 4

O peso M g é equilibrado pela pressão agindo nessa faixa de contato (por unidade de profundidade ao longo do eixo do pneu):
M g = p \times \bigl(2R\sin\theta\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = \frac{M g}{2\,p\,R}\,.
Substituindo p=\sigma_{c}/R (ou p=\sigma_{c}/r) obtemos, em ambos os casos,
\sin\theta = \frac{M g}{2\sigma_{c}}\,.

Passo 5

Como \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}, a deflexão final para cada pneu é
\delta_{\rm carro} =R\Bigl[1-\sqrt{1-\Bigl(\tfrac{M g}{2\sigma_{c}}\Bigr)^{2}}\Bigr],
\delta_{\rm bike} =r\Bigl[1-\sqrt{1-\Bigl(\tfrac{M g}{2\sigma_{c}}\Bigr)^{2}}\Bigr].

Resposta

\delta_{\rm carro} =R\Bigl[1-\sqrt{1-\bigl(\tfrac{M g}{2\sigma_{c}}\bigr)^{2}}\Bigr], \quad \delta_{\rm bike} =r\Bigl[1-\sqrt{1-\bigl(\tfrac{M g}{2\sigma_{c}}\bigr)^{2}}\Bigr].

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