4. Questão 5

A equação diferencial: (2 x y cos x+y^2 cos (2 x)) d x+(2 x y cos x+x y^2 cos y) d y=0 é exata?.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2 x y cos x + y^2cos(2x)),dx + (2 x ycos x + x y^2cos y),dy = 0
Aqui temos
M(x,y) = 2 x y cos x + y^2cos(2x), N(x,y) = 2 x ycos x + x y^2cos y,
e o conteúdo é equações diferenciais exatas. Para a equação ser exata, deve valer
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Calcular partial Mpartial y. Como
M(x,y) = 2 x y cos x + y^2cos(2x),
derivando em relação a y obtemos
partial Mpartial y = 2 xcos x + 2ycos(2x)

Passo 3

Calcular partial Npartial x. Como
N(x,y) = 2 x y cos x + x y^2cos y,
derivando em relação a x temos
partial Npartial x = 2ycos x ;+; 2 x yl(-sin xr);+; y^2cos y = 2ycos x - 2xysin x + y^2cos y

Passo 4

Comparando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2 xcos x + 2ycos(2x), partial Npartial x = 2ycos x - 2xysin x + y^2cos y,
observamos que em geral
partial M/partial y neq partial N/partial x. Portanto, a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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